锥台

Template:NoteTA Template:Infobox polyhedron 棱台是几何学中研究的一类多面体，指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截後，截面与底面之间的几何形体。截面也称为棱台的上底面，原来棱锥的底面称为下底面。随着棱锥形状不同，棱台的称呼也不相同，依底面多边形而定，例如底面是正方形的棱台称为方棱台，底面为三角形的棱台称为三棱台，底面为五边形的棱台称为五棱台等等。棱台是平截头体的一类，也是更广义的拟柱体的一种。根据所截的是圆锥还是棱锥，可分为圆台与棱台。

从棱台的定义可以推知，一个以Template:Math边形为底面的棱台，一共有2Template:Math个顶点，Template:Math+2个面以及3Template:Math条边。棱台的对偶多面体是双锥。棱台的对称性取决于原来棱锥。如果原来的棱锥是正棱锥，那么棱台和正多边形有相同的对称结构（同构的对称群）。

性质

体积

棱台的体积取决于两底面之间的距离（棱台的高），以及原来棱锥的体积。设 $h$ 為棱台的高， $S_{u}$ 和 $S_{d}$ 為棱台的上下底面積， $V$ 為棱台的体积。由于棱台是由一个平面截去棱锥的一部分（也就是和原来棱锥相似的一个小棱锥）得到，所以计算体积的时候，可以先算出原来棱锥的体积，再减去和它相似的小棱锥的体积。棱锥被平行于底面的平面所截时，截面的面积与底面面积的比，等于小棱锥和原棱锥的高的比的平方。假设原棱锥的高是 $H$ ，那么小棱锥的高是 $H - h$ 。也就是说：

\frac{H - h}{H} = \sqrt{\frac{S_{u}}{S_{d}}}

所以：

H = \frac{h \sqrt{S_{d}}}{\sqrt{S_{d}} - \sqrt{S_{u}}}

棱台的体积等于原棱锥体积减去小棱锥的体积：

V = \frac{S_{d} H}{3} - \frac{S_{u} (H - h)}{3} = \frac{(S_{d} \sqrt{S_{d}} - S_{u} \sqrt{S_{u}}) h}{3 (\sqrt{S_{d}} - \sqrt{S_{u}})} = \frac{h}{3} (S_{d} + S_{u} + \sqrt{S_{d}} \sqrt{S_{u}})

对于正棱锥，假设它的底面是正Template:Math边形，边长分别为Template:Math和Template:Math，高是Template:Math，那么底面积是： $S_{u} = \frac{n a^{2}}{4} \cot \frac{π}{n}, S_{u} = \frac{n b^{2}}{4} \cot \frac{π}{n} .$ 所以它的体积是：

V = \frac{n (a^{2} + b^{2} + a b) h}{12} \cot \frac{π}{n} .

表面积

棱台的侧面展开图是由各个梯形侧面组成的，展开图的面积，就是各个侧面的面积之和，也就是原棱锥的侧面积减去小棱锥的侧面积Template:Math

S_{c} = \sum_{i = 1}^{n} S_{i}

，其中

S_{i}, i = 1, 2 \dots, n

是第 i 个侧面的面积。

棱台的表面积等于棱台的侧面积Template:Math加上底面积Template:Math。假设各个梯形侧面的高是Template:Math，底边的长度是Template:Math和Template:Math，那么棱锥的侧面积：

S_{c} = \sum_{i = 1}^{n} S_{i} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i}) h_{i} .

体积公式

棱台或圆台的体积是原立体图形的体积减去被截去部分的体积：

V = \frac{h_{2} B_{2} - h_{1} B_{1}}{3}

B₁ 指一个底面的面积，B₂指另一个底面的面积, and h₁， h₂ 指原顶点分别到两底面的面积。考虑到

\frac{B_{1}}{h_{1}^{2}} = \frac{B_{2}}{h_{2}^{2}}

这个体积也可用平截头体的高 h = h₂−h₁ 与两底面面积的希罗平均数表达：

V = \frac{h}{3} (B_{1} + B_{2} + \sqrt{B_{1} B_{2}})

亚历山大里亚的希罗推导出了这个公式并且凭借它遇到了虚数。^[1]

特别地，圆台的体积是

V = \frac{π h}{3} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2} + R_{1} R_{2})

π 等于 3.14159265...，'R₁, R₂ 是两底面的半径。

底面为n边形的棱台的体积是

V = \frac{n h}{12} (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{1} a_{2}) \cot \frac{180}{n}

a₁ 与 a₂ 是底面的边长。

表面积公式

对于一个正圆台，^[2]

\begin{matrix} Lateral Surface Area & = π (R_{1} + R_{2}) s \\ = π (R_{1} + R_{2}) \sqrt{(R_{1} - R_{2})^{2} + h^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} Total Surface Area & = π [(R_{1} + R_{2}) s + R_{1}^{2} + R_{2}^{2}] \\ = π [(R_{1} + R_{2}) \sqrt{(R_{1} - R_{2})^{2} + h^{2}} + R_{1}^{2} + R_{2}^{2}] \end{matrix}

Lateral Surface Area指侧面积，Total Surface Area指总面积，R₁ and R₂ 为底面半径，s 为平截头体的斜高。一个底面为正n边形的正棱台的表面积是

A = \frac{n}{4} [(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) \cot \frac{π}{n} + \sqrt{(a_{1}^{2} - a_{2}^{2})^{2} \sec^{2} \frac{π}{n} + 4 h^{2} (a_{1} + a_{2})^{2}}]

a₁ 与 a₂是两底面的边长。

參見

金字塔：某些金字塔是棱台状建筑，大部分是四棱台；
圓台：平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面和底面之间的部分；
棱锥：多边形的各个顶点与平面外一点相连得到的几何体。
雙錐台
錐體

参考资料

↑ Nahin, Paul. "An Imaginary Tale: The story of the square root of minus one." Princeton University Press. 1998
↑ Template:Cite web

链接

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[1] Nahin, Paul. "An Imaginary Tale: The story of the square root of minus one." Princeton University Press. 1998

[2] Template:Cite web

[1]

[2]

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性质

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体积公式

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