接近整数

在趣味數學中，接近整数是指很接近整數的無理數。這類數字中，有些因為其數學上的特性使其接近整数，有些還找不到其特性，看起來似乎只是巧合。

有關黃金比例及其他皮索特-维贾亚拉加文数

黃金比例 $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398875$ 的高次方符合此特性。例如

$φ^{17} = \frac{3571 + 1597 \sqrt{5}}{2} \approx 3571.00028 \approx F_{16} + F_{18}$
$φ^{18} = 2889 + 1292 \sqrt{5} \approx 5777.999827 \approx F_{17} + F_{19}$
$φ^{19} = \frac{9349 + 4181 \sqrt{5}}{2} \approx 9349.000107 \approx F_{18} + F_{20}$

其中

F_{n}

代表費波納契數列的第

n

項

這是因為有恆等式 $φ^{n} = F_{n - 1} + F_{n} \times φ$ Template:NoteTag，所以當 $n$ 為足夠大的正整數時，

φ^{n} = F_{n - 1} + F_{n} \times φ \approx F_{n - 1} + F_{n} \times (\frac{F_{n + 1}}{F_{n}}) = F_{n - 1} + F_{n + 1}

這些數字接近整數的原因和黃金比例的特性有關，不是數學巧合。其原因是因為黃金比例為皮索特-维贾亚拉加文数，而皮索特-维贾亚拉加文数的高次方會是接近整數。

這些數字與費波納契數有密切的關係，因為費波納契數相鄰兩項的比值會趨近於黃金比例，而如果m整除n，則第m個費波納契數也會整除第n個費波納契數。

皮索特-维贾亚拉加文数是指代數數本身大於1，而且其極小多項式中另一根的絕對值小於1。像黃金比例本身大於1， $φ$ 的最小多項式為 $x^{2} - x - 1 = 0$

另一根為 $\overline{φ} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx - 0.618$

絕對值小於1，因此黃金比例為皮索特-维贾亚拉加文数，其高次方會是接近整数。

依照根和系数的关系，可得知

$φ \overline{φ} = - 1$

$φ + \overline{φ} = 1$

而 $φ^{n} + \overset{n}{\overline{φ}}$ 可以用 $φ \overline{φ}$ 及 $φ + \overline{φ}$ 來表示，由於二根之和及二根之積均為整數，計算所得的結果也是一個正整數，假設為一正整數K，則 $φ^{n}$ 可以用下式表示

$φ^{n} = K - \overset{n}{\overline{φ}}$

由於 $\overline{φ}$ 的絕對值小於1，在n增大時，其高次方會趨於0，此時可得

$φ^{n} \approx K$

除了黃金比例外，其他皮索特-维贾亚拉加文数的無理數也符合此一條件，例如 $1 + \sqrt{2}$ 。

有關黑格納數

以下也是幾個非巧合出現的接近整數，和最大三項的黑格納數有關：

$e^{π \sqrt{43}} \approx 884736743.999777466$
$e^{π \sqrt{67}} \approx 147197952743.999998662454$
$e^{π \sqrt{163}} \approx 262537412640768743.99999999999925007$

以上三式可以用以下的式子表示^[2]:

e^{π \sqrt{43}} = 1 2^{3} (9^{2} - 1)^{3} + 744 - 2.225 \dots \times 1 0^{- 4}

e^{π \sqrt{67}} = 1 2^{3} (2 1^{2} - 1)^{3} + 744 - 1.337 \dots \times 1 0^{- 6}

e^{π \sqrt{163}} = 1 2^{3} (23 1^{2} - 1)^{3} + 744 - 7.499 \dots \times 1 0^{- 13}

其中： $21 = 3 \times 7, 231 = 3 \times 7 \times 11, 744 = 24 \times 31$ 由於艾森斯坦級數的關係，使得上式中出現平方項。常數 $e^{π \sqrt{163}}$ 有時會稱為拉馬努金常數。

有關π及e

許多有關π及e的常數也是接近整數，例如

e^{π} - π = 19.999099979189 \dots

以及

e^{5 π} = 6635623.999341134233 \dots

格尔丰德常数（ $e^{π}$ ）接近 $π + 20$ ，至2011年為止還沒找到出現此特性的原因^[1]，因此只能視為一數學巧合。另一個有關格尔丰德常数的常數也是接近整數 $\frac{e^{π} - π - 1}{6 π} = 1.00793356 \dots$

以下也是一些接近整數的例子

$22 π^{4} = 2143.0000027480 \dots$
$π^{5} = 306.019684 \dots$
$π^{3} = 31.006276 \dots$
$π^{13 / 2} = 1704.017978 \dots$
$π^{3} - \frac{π}{500} = 30.999993494 \dots$
$π^{2} + \frac{π}{24} = 10.000504 \dots$
$π^{5} - 3 π^{3} = 213.0008547 \dots$
$e^{π} - π + 0.0009 = 19.9999999791 \dots$
$e^{3} = 20.0855369 \dots$
$e^{9 / 2} = 90.0171313 \dots$
$e^{π \sqrt{2}} = 85.019695 \dots$
$e^{6} - π^{5} - π^{4} = 0.00001767 \dots$
$9 π^{5} - 2 e^{3} = 2714.00608922 \dots$
$e^{13 / 2} - π = 662.00004039 \dots$
$π^{13 / 2} - e^{9 / 2} = 1614.00084707 \dots$

其他例子

$_{\cos {π \cos [π \cos \ln (π + 20)]} \approx - 0.9999999999999999999999999999999999606783}$	$_{\sin 2017 \sqrt[5]{2} \approx - 0.9999999999999999785}$	$_{\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{⌊ n \tanh π ⌋}{1 0^{n}} - \frac{1}{81} \approx 1.11 \times 1 0^{- 269}}$	$_{\sqrt{29} (\cos \frac{2 π}{59} - \cos \frac{24 π}{59}) - \frac{19}{5} \approx 3.057684294154 \times 1 0^{- 6}}$
$_{1 + \frac{103378831900730205293632}{e^{3 π \sqrt{163}}} - \frac{196884}{e^{2 π \sqrt{163}}} - \frac{262537412640768744}{e^{π \sqrt{163}}} \approx 1.161367900476 \times 1 0^{- 59}}$	$_{\frac{\ln^{2} 262537412640768744}{π^{2}} - 163 \approx 2.32167 \times 1 0^{- 29}}$	$_{10 \tanh \frac{28}{15} π - \frac{π^{9}}{e^{8}} \approx 3.661398 \times 1 0^{- 8}}$	$_{\sqrt[4]{\frac{91}{10}} - \frac{33}{19} \approx 3.661398 \times 1 0^{- 8}}$
$_{γ - \frac{10}{81} (11 - 2 \sqrt{10}) = \int_{0}^{\infty} (\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x e^{x}}) d x - \frac{10}{81} (11 - 2 \sqrt{10}) \approx 2.72 \times 1 0^{- 7}}$	$_{\frac{(5 + \sqrt{5}) Γ (\frac{3}{4})}{e^{\frac{5}{6} π}} \approx 1.000000000000045422}$	$_{\frac{1}{4} (\cos \frac{1}{10} + \cosh \frac{1}{10} + 2 \cos \frac{\sqrt{2}}{20} \cosh \frac{\sqrt{2}}{20}) \approx 1.000000000000248}$	$_{e^{6} - π^{5} - π^{4} \approx 1.7673 \times 1 0^{- 5}}$
$_{\sqrt{29} (\cos \frac{2 π}{59} - \cos \frac{24 π}{59}) \approx 3.0576842941540143382 \times 1 0^{- 6}}$	$_{{(3 \sqrt{5})}^{γ} = {(3 \sqrt{5})}^{\int_{0}^{\infty} (\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x e^{x}}) d x} \approx 3.000060964}$	$_{e^{ϕ_{0} (\frac{2 + \sqrt{3}}{4})} = e^{\int_{0}^{\infty} (\frac{1}{t e^{t}} - \frac{e^{\frac{2 - \sqrt{3}}{4} t}}{e^{t} - 1}) d t} \approx 1.99999969}$	$_{\frac{\sqrt[3]{9}}{3 \ln 2} \approx 1.00030887}$
$_{\sum_{k = - \infty}^{\infty} 1 0^{- \frac{k^{2}}{10000}} - 100 \sqrt{\frac{π}{\ln 10}} = θ_{3} (0, \frac{1}{\sqrt[10000]{10}}) - 100 \sqrt{\frac{π}{\ln 10}} \approx 1.3809 \times 1 0^{- 18613}}$	$_{\frac{π^{9}}{e^{8}} \approx 9.998387}$	$_{e^{π} - π \approx 19.999099979}$	$_{\frac{e^{π} - \ln 3}{\ln 2} - \frac{4}{5} \approx 31.0000000033}$
$_{\frac{π^{11}}{e^{3}} - Γ [Γ (π + 1) + 1] = \frac{π^{11}}{e^{3}} - \int_{0}^{\infty} \frac{t^{\int_{0}^{\infty} \frac{u^{π}}{e^{u}} d u}}{e^{t}} d t \approx 7266.9999993632596}$	$_{163 (π - e) \approx 68.999664}$	$_{{(\frac{23}{9})}^{5} = \frac{6436343}{59049} \approx 109.00003387}$	$_{88 \ln 89 \approx 395.00000053}$
$_{510 \lg 7 \approx 431.00000040727098}$	$_{272 \log_{π} 97 \approx 1087.000000204}$	$_{\frac{53453}{\ln 53453} \approx 4910.00000122}$	$_{\frac{53453}{\ln 53453} + \frac{163}{\ln 163} \approx 4941.99999995925082}$
$_{\sqrt[8]{\frac{\sqrt{2}}{4} (π^{17} - 4 e^{2 π} + 4 π e^{π})} - \sqrt[8]{\frac{\sqrt{2}}{4} (π^{17} - 4 e^{2 π} - 4 π e^{π})} \approx 2.570287024592328869357 \times 1 0^{- 6}}$	$_{10 - \sqrt[8]{\frac{\sqrt{2}}{4} (π^{17} - 4 e^{2 π} - 4 π e^{π})} \approx 2.57055302118 \times 1 0^{- 6}}$	$_{10 - \sqrt[8]{\frac{\sqrt{2}}{4} (π^{17} - 4 e^{2 π} + 4 π e^{π})} \approx 2.65996596963 \times 1 0^{- 10}}$	$_{\frac{163}{\ln 163} \approx 31.9999987343}$

2^{2^{2 / 3}} \approx 3.00507511272

4 \ln 2.117 \approx 2.99999996861

_{\ln K_{0} - \ln \ln K_{0} \approx 1.0000744}

，其中

K_{0}

是辛钦常数

_{\frac{10}{81} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sum_{k = 1 0^{n - 1}}^{1 0^{n} - 1} 1 0^{- n [k - (1 0^{n - 1} - 1)]} k}{1 0^{\sum_{k = 0}^{n - 1} 9 \times 1 0^{k - 1} k}} = \frac{10}{81} - \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{k = 1 0^{n - 1}}^{1 0^{n} - 1} \frac{k}{1 0^{k n - 9 \sum_{k = 0}^{n - 1} 1 0^{k} (n - k)}} \approx 1.022344 \times 1 0^{- 9}}

_{- \frac{1}{5} + e^{\frac{6}{5}}_{4} F_{3} (- \frac{1}{5}, \frac{1}{20}, \frac{3}{10}, \frac{11}{20}; \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}; \frac{256}{3125 e^{6}}) + \frac{2}{25 e^{\frac{6}{5}}}_{4} F_{3} (\frac{1}{5}, \frac{9}{20}, \frac{7}{10}, \frac{19}{20}; \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{7}{5}; \frac{256}{3125 e^{6}}) - \frac{4}{125 e^{\frac{12}{5}}}_{4} F_{3} (\frac{2}{5}, \frac{13}{20}, \frac{9}{10}, \frac{23}{20}; \frac{4}{5}, \frac{6}{5}, \frac{8}{5}; \frac{256}{3125 e^{6}}) + \frac{7}{625 e^{\frac{18}{5}}}_{4} F_{3} (\frac{3}{5}, \frac{17}{20}, \frac{11}{10}, \frac{27}{20}; \frac{6}{5}, \frac{7}{5}, \frac{9}{5}; \frac{256}{3125 e^{6}}) - π \approx 2.89221114964408683 \times 1 0^{- 8}}

_{Root of x^{6} - 615 x^{5} + 151290 x^{4} - 18608670 x^{3} + 1144433205 x^{2} - 28153057165 x + 39605 = 0}

_{\frac{615 - 55 \sqrt{5} - \sqrt[3]{7451370 + 3332354 \sqrt{5} + 6 \sqrt{8890710030 + 3976046490 \sqrt{5}}} - \sqrt[3]{7451370 + 3332354 \sqrt{5} - 6 \sqrt{8890710030 + 3976046490 \sqrt{5}}}}{6} \approx 1.40677447684 \times 1 0^{- 6}}

_{Root of 312500000 x^{5} - 6843750000 x^{4} + 6826250000 x^{3} + 10476025000 x^{2} - 7886869750 x - 72099 = 0}

_{\tan (\frac{\arctan 4}{5} + \frac{4 π}{5}) + \frac{19}{50} = \frac{219}{50} + \frac{- 1 - \sqrt{5} + \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} i}{4} \sqrt[5]{884 + 799 i} + \frac{- 1 - \sqrt{5} - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} i}{4} \sqrt[5]{884 - 799 i} + \frac{- 1 + \sqrt{5} - \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} i}{4} \sqrt[5]{1156 + 289 i} + \frac{- 1 + \sqrt{5} + \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} i}{4} \sqrt[5]{1156 - 289 i} \approx - 9.141538637378949398666277 \times 1 0^{- 6}}

_{e r f i (e r f i \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} e^{t^{2}} d t} e^{u^{2}} d u = \frac{2}{\sqrt{π}} e^{{(\frac{2 \sqrt[3]{e}}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (\frac{2}{3} \sqrt{3} t)}{e^{t^{2}}} d t)}^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin [\frac{4 u \sqrt[3]{e}}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (\frac{2}{3} \sqrt{3} t)}{e^{t^{2}}} d t]}{e^{u^{2}}} d u = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{_{\frac{2 \sqrt[3]{e}}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (\frac{2}{3} \sqrt{3} t)}{e^{t^{2}}} d t}} e^{u^{2}} d u = \frac{2}{\sqrt{π}} e^{{(\frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} e^{t^{2}} d t)}^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (\frac{4 u}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} e^{t^{2}} d t)}{e^{u^{2}}} d u \approx 1.00002087363809430195879}

$\sin 11 = - 0.999990207 . . .$ ，這是由於 $3.5 π \approx 10.9956 \approx 11$ 的緣故，另一個類似的例子為 $\sin 355 = - 0.00003014435335948844921433 . . .$
$\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + . . . . . . . + 55205 7^{2}} \approx 236818619.0000004307$
$\frac{5^{6}}{6^{5}} \approx 2$

外部連結

J.S. Markovitch Coincidence, data compression, and Mach's concept of economy of thought Template:Wayback

註釋

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參考資料

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↑ ^1.0 ^1.1 Eric Weisstein, "Almost Integer" Template:Wayback at MathWorld
↑ Template:Cite web

[MathWorld-1] 1.0 ^1.1 Eric Weisstein, "Almost Integer" Template:Wayback at MathWorld

[2] Template:Cite web

[1]

[2]

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