射影线性群

射影线性群是代数学里群论中的一类群的称呼。射影线性群也叫射影一般线性群（一般记作 PGL），是某个系数域为$𝕂$的向量空间V上的一般线性群在射影空间 P(V) 上诱导的群作用。具体来说，射影线性群是商群：

$\mathbb{P}𝒢ℒ(V)=𝒢ℒ(V)/𝕂(V)$

其中的$𝒢ℒ(V)$是V上的一般线性群，而$𝕂(V)$是由V上的所有数乘变换构成的$𝒢ℒ(V)$的子群。之所以在$𝒢ℒ(V)$中约去$𝕂(V)$，是因为它们在射影空间上的作用是平凡的（所以构成群作用的核）。$𝕂(V)$ 有时也被记作 $𝒵(V)$，因为它是一般线性群的中心。

与射影线性群类似的还有射影特殊线性群，一般记作PSL。它的定义与射影线性群相似，只不过不是在一般线性群而是在特殊线性群上。

$\mathbb{P}𝒮ℒ(V)=𝒮ℒ(V)/𝒮𝒵(V)$

其中的$𝒮ℒ(V)$是V上的特殊线性群，而$𝒮𝒵(V)$是$𝕂(V)$在$𝒮ℒ(V)$中的子群（即行列式等于1的数乘变换构成的子群）。显然 $𝒮𝒵(V)$ 是 $𝒮ℒ(V)$ 的中心。若$V={𝕂}^n$（n 维空间），则 $𝒮𝒵(V)$ 同构于由n 次单位根构成的群。

射影线性群与射影特殊线性群都是群论和几何中最常研究的群，即所谓的“经典群”。射影线性群中的元素称为射影线性变换。$V={𝕂}^n$（n 维空间），那么这个射影线性群也记作$\mathbb{P}𝒢ℒ(n,𝕂)$ 或 $\mathbb{P}{𝒢ℒ}_n(𝕂)$。

当且仅当 $𝕂$ 中每一个元素的n 次根都在 $𝕂$ 中，例如在 $𝕂$ 代数封闭（比如是复数域 $ℂ$）的时候，射影线性群与射影特殊线性群等同。$\mathbb{P}𝒢ℒ(2,ℂ)=\mathbb{P}𝒮ℒ(2,ℂ)$。但是系数域为实数的时候，就有$\mathbb{P}𝒢ℒ(2,ℝ)>\mathbb{P}𝒮ℒ(2,ℝ)$。几何的解释是：实射影直线是有向的，而实射影特殊线性群只包括保持定向的变换。

射影线性群与射影特殊线性群也可以在环上定义，一个重要的例子是模群$\mathbb{P}𝒢ℒ(2,\mathbb{Z})$。