狄拉克場

在量子場論中，狄拉克場用於描述自旋-1/2的費米子，如：電子、質子、夸克等粒子。並且狄拉克場遵守反正則對易關係，數學上可以表示成有四的分量的旋量或一對兩個分量的外爾旋量。

雖然都用於描述自旋-1/2的費米子，其與馬約拉那場不同。狄拉克場描述的粒子存在反粒子，然而馬約拉那場描述的粒子即為自身的反粒子。

基本性質

Template:Main 自由（沒有交互作用）的狄拉克場遵守反正則對易關係，數學上使用到反交換子$\{a,b\}=ab+ba$而非交換子$[a,b]=ab-ba$。其中的反對易關係就暗示了費米-狄拉克統計，並且也能推導出泡利不相容原理：兩個相同的費米子不能處於相同的量子態。

數學公式

狄拉克場表示成$\psi (x)$。其自由場的運動方程式為狄拉克方程式：

$(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi (x)=0.$

其中${\gamma }^{\mu }$為γ矩陣（或稱作狄拉克矩陣），m代表質量。這個方程式最簡單的解為平面波${\psi }_1(x)=u(p)e^{-ip.x}$和${\psi }_2(x)=v(p)e^{ip.x}$。平面波組成了一個$\psi (x)$的傅立葉基底。我們能以此基底作展開，如下：

$\psi (x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}\sum _s(a_{\mathbf{\text{p}}}^s{u}^s(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf{\text{p}}}^{s†}{v}^s(p)e^{ip\cdot x}).$

$a$、$b$標示了旋量的指標，$s$表示自旋，s = +1/2或s=−1/2。前面係數中的能量是為了勞倫茲積分的協變性。由於$\psi (x)$可以視作一個算符，每個傅立葉基底的係數也必須是算符。因此，$a_{\mathbf{\text{p}}}^s$以及$b_{\mathbf{\text{p}}}^{s†}$為作用子。這些算符的性質可以從這些場的性質中得知。 $\psi (x)$和$\psi (y{)}^{†}$遵守反對易關係：

$\{{\psi }_a(\mathbf{\text{x}}),{\psi }_b^{†}(\mathbf{\text{y}})\}={\delta }^{(3)}(\mathbf{\text{x}}-\mathbf{\text{y}}){\delta }_{ab},$

藉由將$\psi (x)$和$\psi (y)$作展開，我們可以得到係數間的反對易關係：

$\{a_{\mathbf{\text{p}}}^r,a_{\mathbf{\text{q}}}^{s†}\}=\{b_{\mathbf{\text{p}}}^r,b_{\mathbf{\text{q}}}^{s†}\}=(2\pi {)}^3{\delta }^3(\mathbf{\text{p}}-\mathbf{\text{q}}){\delta }^{rs},$

於非相對論系統中的創造與湮滅算符相類似，從這個代數關係得到了這樣的物理詮釋： $a_{\mathbf{\text{p}}}^{s†}$產生一個動量$\mathbf{\text{p}}$自旋為s的粒子，而$b_{\mathbf{\text{q}}}^{r†}$產生一個動量$\mathbf{\text{q}}$自旋為r的反粒子。因此，廣義的$\psi (x)$現在看作產生所有可能動量、自旋之粒子的總合，而其共軛$\overline{\psi }\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\psi }^{†}{\gamma }^0$與其相反，看作湮滅所有動量、自旋之反粒子的總合。

有了對於場及其共軛的瞭解，我們便能試著架構出勞侖茲協變性的場。最單純的量為$\bar{\psi }\psi$，當中$\overline{\psi }={\psi }^{†}{\gamma }^0$。其他可能的勞侖茲協變性量$\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi$。

由於這些量的線性組和同樣符合勞侖茲協變性，很自然地得到了狄拉克場的拉格朗日密度，並且其歐拉－拉格朗日方程必須回到狄拉克方程式。

${ℒ}_D=\overline{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi$

這樣的表示將指標隱藏了起來。完整的表示如下：

${ℒ}_D={\overline{\psi }}_a(i{\gamma }_{ab}^{\mu }{\partial }_{\mu }-m{𝕀}_{ab}){\psi }_b$

由$\psi (x)$，我們可以建構出狄拉克場的費曼傳播子：

$D_F(x-y)=⟨0|T(\psi (x)\overline{\psi }(y))|0⟩$

我們定義狄拉克場的時間排序如下，當中的負號來自於其反對易關係的性質：

$T(\psi (x)\overline{\psi }(y))\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\theta (x^0-y^0)\psi (x)\overline{\psi }(y)-\theta (y^0-x^0)\overline{\psi }(y)\psi (x)$。

對上列的式子作平面波的展開，得到：

$D_F(x-y)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i(p/+m)}{p^2-m^2+iϵ}{e}^{-ip\cdot (x-y)}$

在此我們用上了費曼斜線標記。這個式子相當合理，因為係數

$\frac{i(p/+m)}{p^2-m^2}$

即為狄拉克方程式中作用在$\psi (x)$的相反算符。 純量場的費曼傳播子也具有相同的性質。由於所有合理的觀測量（例如能量、電荷、粒子數等）都由偶數的狄拉克場所構成，兩個觀測量的對易關係在光錐外為零。就如同我們從量子力學中學習到的，兩的可交換的觀察量可以同時被觀測。因此，我們確定了狄拉克場的勞侖茲協變性，並維持了因果律。

而更複雜、包含交互作用的場論（湯川理論（Yukawa theory）或量子電動力學）同樣可以微擾或非為擾方法作分析。

在粒子物理標準模型中，狄拉克場扮演很重要的要素。

參閱

• 狄拉克方程式
• 狄拉克旋量

參考資料

• Edwards, D. (1981). The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories, International J. of Theor. Phys., Vol. 20, No. 7.
• Peskin, M and Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press. (See pages 35-63.)
• Srednicki, Mark (2007). Quantum Field Theory Template:Wayback, Cambridge University Press, ISBN 978-0521864497.
• Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press.