2的自然对数

{{#invoke:TemplateVariadicArgumentSingle|build_template |_core_template=Template:Infobox number/core |_core_args=lang |_core_insert_code= | lang$ = {{{lang$|}}} | lang$ symbol = {{{lang$ symbol|}}} }} ln2Template:OEIS约为：

$\ln 2\approx 0.693147$

使用对数公式

${\log }_{b}2=\frac{\ln 2}{\ln b}.$

可以求出log2，它约为：Template:OEIS

${\log }_{10}2\approx 0.301029995663981195$。

數學家Template:Le在1972年證明，不尋常數的自然密度等於 $\ln 2$。換言之，若 $u(n)$ 表示不大於 $n$ 的自然數之中，有多少個數 $a$ 具有大於 $\sqrt{a}$ 的質因數，則有：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{u(n)}{n}=\ln (2)=0.693147\dots .$

公式

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}=\ln 2.$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(n+1)(n+2)}=2\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(4n^2-1)}=2\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(4n^2-1)}=\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(9n^2-1)}=2\ln 2-\frac{3}{2}.$

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}[\zeta (n)-1]=\ln 2-\frac{1}{2}.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -\frac{1}{2}\ln 2.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{2n}(2n+1)}\zeta (2n)=\frac{1}{2}(1-\ln 2).$

$\gamma$是欧拉-马歇罗尼常数，$\zeta$是黎曼ζ函數。

$\ln 2=\sum _{k\ge 1}\frac{1}{k{2}^k}.$Template:Rp

$\ln 2=\sum _{k\ge 1}(\frac{1}{3^k}+\frac{1}{4^k})\frac{1}{k}.$

$\ln 2=\frac{2}{3}+\sum _{k\ge 1}(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12})\frac{1}{16^k}.$（贝利－波尔温－普劳夫公式）

$\ln 2=\frac{2}{3}\sum _{k\ge 0}\frac{1}{(2k+1)9^k}.$（基於反雙曲函數，可參見計算自然對數的級數。）

积分公式

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+x}=\ln 2$

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{(1+x^2)(1+x{)}^2}=\frac{1}{4}(1-\ln 2)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{1+e^{nx}}=\frac{1}{n}\ln 2;\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{3+e^{nx}}=\frac{2}{3n}\ln 2$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{e^x-1}-\frac{2}{e^{2x}-1})=\ln 2$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x}dx=\ln 2$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \frac{x^2-1}{x\ln x}dx=-1+\ln 2+\gamma$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\tan xdx=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\tan xdx=\ln 2$

$\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln (\sin x+\cos x)dx=-\frac{\pi }{4}\ln 2$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2\ln (1+x)dx=\frac{2}{3}\ln 2-\frac{5}{18}$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\ln (1+x)\ln (1-x)dx=\frac{1}{4}-\ln 2$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^3\ln (1+x)\ln (1-x)dx=\frac{13}{96}-\frac{2}{3}\ln 2$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln x}{(1+x{)}^2}dx=-\ln 2$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}dx=1-2\ln 2$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)}=\ln 2$

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln \ln x}{x^3}dx=-\frac{1}{2}(\gamma +\ln 2)$

$\gamma$是欧拉-马歇罗尼常数。

其他公式

用皮尔斯展开式（Template:OEIS2C）表达ln2：

$\log 2=\frac{1}{1}-\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12}-\dots$.

用恩格尔展开式Template:OEIS2C表达ln2：

$\log 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\dots$.

用余切展开式Template:OEIS2C表达ln2：

$\log 2=\cot (\mathrm{arccot}0-\mathrm{arccot}1+\mathrm{arccot}5-\mathrm{arccot}55+\mathrm{arccot}14187-\dots )$.

參考文獻

• Template:Cite journal
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外部連結

• Template:MathWorld
• Template:Planetmath reference
• Template:Cite web

參見

• 對數
• 自然對數
• 常用對數
• 超越数