偏度

偏度不為零的實驗數據樣本（小麥胚芽鞘的向地反應：1,790）

偏度（Template:Lang-en），亦稱歪度，在機率論和統計學中衡量實數隨機變數概率分布的不對稱性。偏度的值可以為正，可以為負或者甚至是無法定義。在數量上，偏度為負（負偏態；左偏）就意味着在概率密度函數左側的尾部比右側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數在內）位於平均值的右側。偏度為正（正偏態；右偏）就意味着在概率密度函數右側的尾部比左側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數）位於平均值的左側。偏度為零就表示數值相對均勻地分布在平均值的兩側，但不一定意味着其為對稱分布。

負偏態（左）和正偏態（右）

介紹

偏度分為兩種：

• 負偏態或左偏態：左側的尾部更長，分布的主體集中在右側。。
• 正偏態或右偏態：右側的尾部更長，分布的主體集中在左側。。

如果分布對稱，那麼平均值=中位數，偏度為零（此外，如果分布為單峰分布，那麽平均值=中位數=眾數）。

定義

隨機變量$X$的偏度${\gamma }_1$為三階標準矩，可被定義為：

${\gamma }_1=\mathrm{E}\left[\right(\frac{X-\mu }{\sigma }{)}^3]=\frac{{\mu }_3}{{\sigma }^3}=\frac{\mathrm{E}[(X-\mu {)}^3]}{(\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]{)}^{3/2}}=\frac{{\kappa }_3}{{\kappa }_2^{3/2}},$

其中${\mu }_3$是三階主動差，$\sigma$是標準差。$E$是期望算子。等式的最後以三階累積量與二階累積量的1.5次方的比率來表示偏度。這和用四階累積量除去二階累積量的平方來表示峰度的方法向類似。

偏度有時用$\mathrm{S}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{w}[X]$來表示。老教科書過去常常用$\sqrt{{\beta }_1}$來表示偏度，可是由於偏度可為負，這樣的表示法較為不便。

對上面的等式進行擴展可導出用非中心矩E[X³]來表示偏度的公式：

${\gamma }_1=\mathrm{E}\left[\right(\frac{X-\mu }{\sigma }{)}^3]=\frac{\mathrm{E}[X^3]-3\mu \mathrm{E}[X^2]+2{\mu }^3}{{\sigma }^3}=\frac{\mathrm{E}[X^3]-3\mu {\sigma }^2-{\mu }^3}{{\sigma }^3}.$

樣本偏度

具有$n$個值的樣本的樣本偏度為：

$g_1=\frac{m_3}{{m_2}^{3/2}}=\frac{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^3}{{(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2)}^{3/2}},$

其中$\bar{x}$是樣本平均值，$m_3$是三階樣本中心矩，$m_2$是二階樣本中心距，即樣本方差。

性質

當： $\mathrm{Pr}[X>x]=x^{-3}\text{ for }x>1,\mathrm{Pr}[X<1]=0$ 時，偏度可以是無窮大的。

或者當： $\mathrm{Pr}[X<x]=\frac{(1-x{)}^{-3}}{2}$（$x$為負）及

$\mathrm{Pr}[X>x]=\frac{(1+x{)}^{-3}}{2}$（$x$為正）時，偏度無法定義。

在後面的這個例子中，三階累積量是無法定義的。 其他分布形式比如：

$\mathrm{Pr}[X>x]=x^{-2}\text{ for }x>1,\mathrm{Pr}[X<1]=0$

二階和三階累積量是無窮大的，所以偏度也是無法定義的。

如果假定$Y$為$n$個獨立變量之和並且這些變量和$X$具有相同的分布，那麽$Y$的三階累積量是$X$的$n$倍，$Y$的二階累積量也是$X$的$n$倍，所以： $\text{Skew}[Y]=\frac{\text{Skew}[X]}{\sqrt{n}}$。根據中心极限定理，當其接近高斯分布時變量之和的偏度減小。

參見

• 峰度
• 主動差

參考資料

• Template:Cite journal
• Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition Wiley ISBN 0-471-58495-9
• Template:Cite journal