單位元

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單位元（unit element^[1]）也称恒等元（identity element）、中立元（neutral element）、恒元，是集合裏的一種特殊元素，與該集合裏的二元運算有關。單位元和其他元素結合時，並不會改變那些元素。單位元在群和其他相關概念中都有使用。

設 $(S, *)$ 為一帶有一二元運算 $*$ 的集合 $S$ （稱為原群）。若 $S$ 內有一元素 $e$ 對S內所有元素a满足 $e * a = a$ ，則 $e$ 被稱為左單位元；若满足 $a * e = a$ ，则稱為右單位元。而若 $e$ 同時為左單位元及右單位元，則稱為雙邊單位元，又簡稱為單位元。

對應加法的單位元稱為加法單位元（通常被標為0），而對應乘法的單位元則稱為乘法單位元（通常被標為1）。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上，比如環。

例子

集合	運算	單位元
實數	+（加法）	0
實數	·（乘法）	1
實數	$a^{b}$ （乘方）	1（只為右單位元）
複數	+（加法）	0
複數	·（乘法）	1
矩陣	+（加法）	零矩陣
方陣	·（乘法）	單位矩陣
所有從集合M映射至其自身的函數	$\circ$ （函數複合）	單位函數
所有從集合M映射至其自身的函數	$*$ （摺積）	$δ$ （狄拉克δ函數）
字串	串接	空字元串
擴展的實數軸	最大值	$- \infty$
擴展的實數軸	最小值	$\infty$
集合M的子集	$\cap$ （交集）	M
集合	$\cup$ （聯集）	${}$ （空集）
布爾邏輯	$\land$ （邏輯與）	⊤（真值）
布爾邏輯	$\lor$ （邏輯或）	⊥（假值）
閉二維流形	#（連通和）	$S^{2}$
只兩個元素 ${e, f}$	* 定義為 $e * e = f * e = e$ 且 $f * f = e * f = f$	$e$ 和 $f$ 都是左單位元，但不存在右單位元和雙邊單位元

如最後一個例子所示，有多個左單位元是可能的，且事實上，每一個元素都可以是左單位元。同樣地，右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元，則它們會相同，且仅存在一個雙邊單位元。要證明這個，設 $I$ 為左單位元且 $r$ 為右單位元，則 $I = I * r = r$ 。特別的，不存在兩個以上的單位元。若有兩個單位元 $e$ 和 $f$ ，則 $e * f$ 必同時等於 $e$ 和 $f$ 。