莱恩-埃姆登方程

n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 時的莱恩－埃姆登方程解。

莱恩－埃姆登方程（Lane–Emden equation）是天文物理中一個表現自重力位能，球對稱多方流體的無因次泊松方程。此方程式名字由來於強納生·荷馬·萊恩與羅伯特·埃姆登。此方程式的解表示了恆星在半徑 $r$ 時的壓力與密度，方程式中並有重構徑向變數 $\xi$ 和重構溫度變數 $\theta$：

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+{\theta }^n=0$

當

$\xi =r{\left(\frac{4\pi G{\rho }_c^2}{(n+1)P_c}\right)}^{\frac{1}{2}}$

以及

$\rho ={\rho }_c{\theta }^n$

下標 c 代表核心的壓力與密度。$n$是多方指數；多方指數與代表氣體壓力及密度的多方方程式有關係。

$P=K{\rho }^{1+\frac{1}{n}}$

$P$ 是代表壓力，$\rho$ 則是密度，而 $K$ 則是比例常數。標準的邊界條件則是 $\theta (0)=1$ 和 ${\theta }^{\prime }(0)=0$。因此該方程式的解是描述恆星壓力和密度與半徑的關係，並且給定的多方指數 $n$ 也是多方球的多方指數 $n$。流體靜力平衡與位能、密度、壓力梯度有關；泊松方程與位能、密度有關。

應用

在物理學上，流體靜力平衡與位能梯度、密度和壓力梯度相關，而泊松方程則可以是位能和密度的關係式。因此如果有一個方程式可以進一步指出壓力和密度如何互相反映，就可以得到一個解。以上多方氣體的特定選項在數學上陳述了這個問題，尤其是該陳述特別簡潔並推導出了莱恩－埃姆登方程。這個方程式對於恆星等自重力位能氣體球是相當有用的近似，但它的假設通常是受到限制。

推導

以流體靜力平衡推導

考慮到自重力位能、流體靜力平衡下的球對稱流體、質量守恆這些狀況，就可使用以下連續性方程式：

$\frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho$

這裡 $\rho$ 是 $r$ 的函數。流體靜力平衡的公式成為：

$\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}=-\frac{Gm}{r^2}$

$m$ 也是 $r$ 的公式。再一次求導數可得：

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}\right)& =\frac{2Gm}{r^3}-\frac{G}{r^2}\frac{dm}{dr}\\ & =-\frac{2}{\rho r}\frac{dP}{dr}-4\pi G\rho \end{array}$

這裡已經使用一個連續性方程式取代質量梯度。再將方程式兩側乘上 $r^2$，並將帶有 $P$ 的導數的項置於左側，方程式成為：

$r^2\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}\right)+\frac{2r}{\rho }\frac{dP}{dr}=\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho }\frac{dP}{dr}\right)=-4\pi G{r}^2\rho$

方程式兩側除以 $r^2$，在某些意義上這是一維形式所需的方程式。此外，如果我們以多變方程 $P=K{\rho }_c^{1+\frac{1}{n}}{\theta }^{n+1}$ 和 $\rho ={\rho }_c{\theta }^n$ 代入，可得到：

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^{2}K{\rho }_c^{\frac{1}{n}}(n+1)\frac{d\theta }{dr})=-4\pi G{\rho }_c{\theta }^n$

將常數聚集並以 $r=\alpha \xi$ 取代：

${\alpha }^2=(n+1)K{\rho }_c^{\frac{1}{n}-1}/4\pi G$,

最後得到莱恩－埃姆登方程：

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+{\theta }^n=0$

以泊松方程推導

同樣地，也可以使用泊松方程進行推導：

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\mathrm{\Phi }}{dr}\right)=-4\pi G\rho$

我們可以透過以下數學公式以流體靜力平衡取代位能梯度：

$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dr}=\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}$

最後也可以得到莱恩－埃姆登方程。

方程式解

解析解

$n$ 只在3個值時有解析解

$n=0$

如果 $n=0$，方程式成為：

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+1=0$

重新整理並進行一次積分後的公式成為：

${\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }=C_1-\frac{1}{3}{\xi }^3$

公式兩側都除以 ${\xi }^2$，並且再積分一次後得到：

$\theta (\xi )=C_0-\frac{C_1}{\xi }-\frac{1}{6}{\xi }^2$

邊界條件 $\theta (0)=1$ 和 ${\theta }^{\prime }(0)=0$ 暗示積分常數是 $C_0=1$ 和 $C_1=0$。

$n=1$

當 $n=1$，方程式可展開如下：

$\frac{d^2\theta }{d{\xi }^2}+\frac{2}{\xi }\frac{d\theta }{d\xi }+\theta =0$

兩端都乘以 ${\xi }^2$ 可得到 $k=1$ 和 $n=0$ 的球貝索函數。套用了邊界條件以後的解將是：

$\theta (\xi )=\frac{\sin \xi }{\xi }$

$n=5$

在經過一連串取代的步驟後，方程式可以有進一步的解：

$\theta (\xi )=\frac{1}{\sqrt{1+{\xi }^2/3}}$

當 $n=5$，方程式的解將是循著徑向的無限大值。

數值解

一般情形下莱恩－埃姆登方程的解必須以數值積分方式求得。許多數值積分的標準解法要求該問題必須以一階常微分方程表示，例如：

$\frac{d\theta }{d\xi }=-\frac{\varphi }{{\xi }^2}$

$\frac{d\varphi }{d\xi }={\theta }^n{\xi }^2$

在這裡 $\varphi (\xi )$ 被視為無因次質量，而質量可使用 $m(r)=4\pi {\alpha }^3{\rho }_c\varphi (\xi )$ 表示。相關的邊界條件是 $\varphi (0)=0$ 和 $\theta (0)=1$。第一個方程式表現了流體靜力平衡，而第二個方程式則表示質量守恆。

同調變數

同調不變方程

已知如果 $\theta (\xi )$ 是莱恩－埃姆登方程的解，那麼完整的解方程式將是 $C^{2/n+1}\theta (C\xi )$。和這方式相關的解則稱為「同調」，而轉換的過程是同調性的。如果我們選擇不變的變數達到同調性，就可以將莱恩－埃姆登方程降一階計算。

而這類可選擇的變數有多個，一個適當的選擇是：

$U=\frac{d\log m}{d\log r}=\frac{{\xi }^3{\theta }^n}{\varphi }$

和

$V=\frac{d\log P}{d\log r}=(n+1)\frac{\varphi }{\xi \theta }$

我們可以將相對於 $\xi$ 的變數的對數微分，得到：

$\frac{1}{U}\frac{dU}{d\xi }=\frac{1}{\xi }(3-n(n+1{)}^{-1}V-U)$

和

$\frac{1}{V}\frac{dV}{d\xi }=\frac{1}{\xi }(-1+U+(n+1{)}^{-1}V)$.

最後，我們將以上兩個方程式相除以消去應變量 $\xi$，留下：

$\frac{dV}{dU}=-\frac{V}{U}\left(\frac{U+(n+1{)}^{-1}V-1}{U+n(n+1{)}^{-1}V-3}\right)$

以上即為單一一階方程式。

拓撲結構不變的同調方程

同調性不變的方程式可被視為自主對方程式：

$\frac{dU}{d\log \xi }=-U(U+n(n+1{)}^{-1}V-3)$

和

$\frac{dV}{d\log \xi }=V(U+(n+1{)}^{-1}V-1)$

這些方程式的解的形式可透過以下線性穩定性分析來決定。方程式的臨界點（當 $dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0$）和雅可比矩阵的特徵值、特徵向量如下表所示：

臨界點	特徵值		特徵向量
$(0,0)$	$3$	$-1$	$(1,0)$	$(0,1)$
$(3,0)$	$-3$	$2$	$(1,0)$	$(-3n,5+5n)$
$(0,n+1)$	$1$	$3-n$	$(0,1)$	$(2-n,1+n)$
$(\frac{n-3}{n-1},2\frac{n+1}{n-1})$	$\frac{n-5\pm {\mathrm{\Delta }}_n}{2-2n}$		$(1-n\mp {\mathrm{\Delta }}_n,4+4n)$

相關條目

• 恆星結構
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延伸閱讀

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外部連結

• Template:MathWorld
• Horedt, George Paul ( 1986 ) Template:PDFlink, Astrophysics and Space Science vol. 126, no. 2, Oct. 1986, p. 357–408. ( ISSN 0004-640X ). Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.