微分算子

在数学中，微分算子（Template:Lang-en）是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数Template:NotetagTemplate:Notetag。

记号

最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$、$D$（在不會搞混哪个变量微分時），以及$D_x$（指明了变量）。

一阶导数如上所示，但当取更高阶n-次导数时，下列替代性记号是有用的：$\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}$、$D^n$、$D_x^n$。

记号D的发明与使用归于奥利弗·亥维赛，他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子

$\sum _{k=0}^n{c}_k{D}^k$

另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}^2=\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_k^2}$

另一个微分算子是Θ算子，定义为

$\mathrm{\Theta }=z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}$

有时候这也称为齐次算子，因为它的本征函数是关于z的单项式：

$\mathrm{\Theta }(z^k)=k{z}^k,k=0,1,2,\dots$

在n个变量中齐次算子由

$\mathrm{\Theta }=\sum _{k=1}^n{x}_k\frac{\partial }{\partial x_k}$

给出。与单变量一样，Θ的本征空间是齐次多项式空间。

一个算子的伴随

Template:See also 给定一个线性微分算子T

$Tu=\sum _{k=0}^n{a}_k(x)D^{k}u$，

这个算子的伴随定义为算子$T^{*}$使得

$⟨Tu,v⟩=⟨u,T^{*}v⟩$

这里记号$⟨\cdot ,\cdot ⟩$表示数量积或点积。从而此定义取决于数乘的定义。

单变量中的形式伴随

在平方可积函数空间中，数量积定义为

$⟨f,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\overline{g(x)}\mathrm{d}x$

如果另外增添要求f或g当$x\to a$与$x\to b$等于零，我们也可定义T的伴随为

$T^{*}u=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{D}^k[a_k(x)u]$

此公式不明显地取决于数量积的定义，故有时作为伴随算子的一个定义。当$T^{*}$用这个公式定义时，它称为T的形式伴随。

一个（形式）自伴算子是与它的（形式）伴随相等的算子。

多变量

如果Ω是Rⁿ中一个区域，而P是Ω上一个微分算子，则P在L²(Ω)中的伴随由对偶性以类似的方式定义：

$⟨f,P^{*}g{⟩}_{L^2(\mathrm{\Omega })}=⟨Pf,g{⟩}_{L^2(\mathrm{\Omega })}$

对所有光滑L²函数f与g。因为光滑函数在L²中是稠密的，这在L²的一个稠密子集上定义了伴随：: P^*是一个稠定算子。

例子

施图姆-刘维尔算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子L可以写成如下形式

$Lu=-(p{u}^{\prime }{)}^{\prime }+qu=-(p{u}^{″}+p^{\prime }{u}^{\prime })+qu=-p{u}^{″}-p^{\prime }{u}^{\prime }+qu=(-p)D^{2}u+(-p^{\prime })Du+(q)u.$

这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。

$\begin{array}{cc}{L}^{*}u& =(-1{)}^2{D}^2[(-p)u]+(-1{)}^{1}D[(-p^{\prime })u]+(-1{)}^0(qu)\\ & =-D^2(pu)+D(p^{\prime }u)+qu\\ & =-(pu{)}^{″}+(p^{\prime }u{)}^{\prime }+qu\\ & =-p^{″}u-2p^{\prime }{u}^{\prime }-p{u}^{″}+p^{″}u+p^{\prime }{u}^{\prime }+qu\\ & =-p^{\prime }{u}^{\prime }-p{u}^{″}+qu\\ & =-(p{u}^{\prime }{)}^{\prime }+qu\\ & =Lu\end{array}$

这个算子在施图姆-刘维尔理论（Template:Lang） 中的关键，其中考虑了这个算子本征函数（类比于本征向量）。

微分算子的性质

微分是线性的，即

$D(f+g)=(Df)+(Dg)$

$D(af)=a(Df)$

这里f和g是函数，而a是一个常数。

任何以函数为系数之D的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则

$(D_1\circ D_2,f)=D_1(D_2(f))$

复合微分算子。需要一些注意：首先算子D₂中的任何函数系数必须具有D₁所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环，我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二，这个环不是交换的：一个算子gD一般与Dg不同。事实上我们有例，如在量子力学中的基本关系：

$Dx-xD=1$

但这些算子的子环：D的常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画：它由平移不变算子组成。

微分算子也服从移位定理（Template:Lang）。

多变量

同样的构造可对偏导数也成立，关于不同的变量微分给出可交换的算子Template:Notetag。

坐标无关描述以及与交换代数的关系

在微分几何与代数几何中，通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设$E$与$F$是流形$M$上两个向量丛。截面的一个$ℝ$-线性映射$P:\mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(F)$称为一个k-阶微分算子，如果它分解穿过节丛$J^k(E)$。换句话说，存在一个向量丛的线性映射

$i_P:J^k(E)\to F$

使得

$P={\hat{i}}_P\circ j^k$

这里${\hat{i}}_P$表示由$i_P$，在截面上诱导的映射，而$j^k:\mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(J^k(E))$，是典范（或通用）k-阶微分算子。

这恰好意味着对一个给定的截面$s$ of $E$，$P(s)$在一个点$x\in M$的值完全由$s$在$x$的k-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着$P(s)(x)$由$s$在$x$的芽决定，这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理（Template:Lang）证明了逆命题也是正确的：任何局部算子是微分。

线性微分算子的一个等价的，但纯代数的描述如下： 一个$ℝ$-线性映射$P$是一个k-阶微分算子，如果对任何(k + 1)阶光滑函数$f_0,\dots ,f_k\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$我们有

$[f_k[f_{k-1}[\cdots [f_0,P]\cdots ]]=0$

这里括号$[f,P]:\mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(F)$定义为交换子

$[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s)$

线性算子的这个刻画说明，它们是一个交换代数上的模之间的一个特殊映射，使这个概念可视为交换代数的一部分。

例子

• 在物理学的应用中，像拉普拉斯算子在建立与求解偏微分方程中起着主要的作用。

• 在微分拓扑中，外导数与李导数算子有内蕴意义。

• 在抽象代数中，导子的概念是微分算子不要求分析的一个推广。通常这样的推广用于代数几何与交换代数。另见节。

參見

• 差分算子
• Template:Le
• 分数微积分