WKB近似

在量子力學裏，WKB近似是一種半經典計算方法，可以用來解析薛丁格方程式。喬治·伽莫夫使用這方法，首先正確地解釋了阿爾法衰變。WKB近似先將量子系統的波函數，重新打造為一個指數函數。然後，半經典展開。再假設波幅或相位的變化很慢。通過一番運算，就會得到波函數的近似解。

簡略歷史

WKB近似以三位物理學家格雷戈尔·文策尔、汉斯·克喇末和萊昂·布里淵姓氏字首命名。於1926年，他們成功地將這方法發展和應用於量子力學。不過早在1923年，數學家哈罗德·杰弗里斯就已經發展出二階線性微分方程式的一般的近似法。薛丁格方程式也是一個二階微分方程式。可是，薛丁格方程式的出現稍微晚了兩年。三位物理學家各自獨立地在做WKB近似的研究時，似乎並不知道這個更早的研究。所以物理界提到這近似方法時，常常會忽略了杰弗里斯所做的貢獻。這方法在荷蘭稱為KWB近似，在法國稱為BWK近似，只有在英國稱為JWKB近似。

數學概念

一般而言，WKB近似專門計算一種特殊微分方程式的近似解。這種特殊微分方程式的最高階導數項目的係數是一個微小參數$ϵ$。給予一個微分方程式，形式為

$ϵ\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+a(x)\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+\cdots +k(x)\frac{dy}{dx}+m(x)y=0$。

假設解答的形式可以展開為一個漸近級數：

$y(x)\sim \exp [\frac{1}{\delta }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\delta }^n{S}_n(x)]$。

將這擬設代入微分方程式。然後约去相同指數函數因子。又取$\delta \to 0$的極限。這樣，就可以從$S_0(x)$開始，一個一個的解析這漸近級數的每一個項目$S_n(x)$。

通常$y(x)$的漸近級數會發散。當$n$大於某值後，一般項目${\delta }^n{S}_n(x)$會開始增加。因此WKB近似法造成的最小誤差，約是最後包括項目的數量級。

數學例子

設想一個二階齊次線性微分方程式

${ϵ}^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=Q(x)y$；

其中，$Q(x)\ne 0$。

猜想解答的形式為

$y(x)=\exp [\frac{1}{\delta }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\delta }^n{S}_n(x)]$。

將猜想代入微分方程式，可以得到

${ϵ}^2[\frac{1}{{\delta }^2}{\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\delta }^n{S_n}^{\prime }\right)}^2+\frac{1}{\delta }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\delta }^n{S_n}^{″}]=Q(x)$。

取$\delta \to 0$的極限，最重要的項目是

$\frac{{ϵ}^2}{{\delta }^2}{S}_0{\text{'}}^2\sim Q(x)$。

我們可以察覺，$\delta$必須與$ϵ$成比例。設定$\delta =ϵ$，則$ϵ$的零次冪項目給出

${ϵ}^0:S_0{\text{'}}^2=Q(x)$。

我們立刻認出這是程函方程。解答為

$S_0(x)=\pm \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\sqrt{Q(t)}dt$。

檢查$ϵ$的一次冪項目給出

${ϵ}^1:2{S_0}^{\prime }{S_1}^{\prime }+{S_0}^{″}=0$。

這是一個一維傳輸方程式。解答為

$S_1(x)=-\frac{1}{4}\ln (Q(x))+k_1$；

其中，$k_1$是任意常數。

我們現在有一對近似解（因為$S_0$可以是正值或負值）。一般的一階WKB近似解是這一對近似解的線性組合：

$y(x)\approx c_1{Q}^{-\frac{1}{4}}(x)\exp \left[\frac{1}{ϵ}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\sqrt{Q(t)}dt\right]+c_2{Q}^{-\frac{1}{4}}(x)\exp [-\frac{1}{ϵ}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\sqrt{Q(t)}dt]$。

檢查$ϵ$的更高冪項目（$n>2$）可以給出：

$2{S_0}^{\prime }{S_n}^{\prime }+S^{\prime }{\text{'}}_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S{\text{'}}_{j}S{\text{'}}_{n-j}=0$。

薛丁格方程式的近似解

解析一個量子系統的薛丁格方程式，WKB近似涉及以下步驟：

1. 將波函數重寫為一個指數函數，
2. 將這指數函數代入薛丁格方程式，
3. 展開指數函數的參數為約化普朗克常數的冪級數，
4. 匹配約化普朗克常數同次冪的項目，會得到一組方程式，
5. 解析這些方程式，就會得到波函數的近似。

一維不含時薛丁格方程式為

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$；

其中，$\hslash$是約化普朗克常數，$m$是質量，$x$是坐標，$V(x)$是位勢，$E$是能量，$\psi$是波函數。

稍加編排，重寫為

${\hslash }^2\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\psi (x)=2m(V(x)-E)\psi (x)$。(1)

假設波函數的形式為另外一個函數$\varphi$的指數（函數$\varphi$與作用量有很密切的關係）：

$\psi (x)=e^{\varphi (x)/\hslash }$。

代入方程式(1)，

$\hslash {\varphi }^{″}(x)+{[{\varphi }^{\prime }(x)]}^2=2m(V(x)-E)$；(2)

其中，${\varphi }^{\prime }$表示$\varphi$隨著$x$的導數。

${\varphi }^{\prime }$可以分為實值部分與虛值部分。設定兩個函數$A(x)$與$B(x)$：

${\varphi }^{\prime }(x)=A(x)+iB(x)$。

注意到波函數的波幅是$\exp [{\int }^{x}A(x^{\prime })d{x}^{\prime }/\hslash ]$，相位是${\int }^{x}B(x^{\prime })d{x}^{\prime }/\hslash$。將${\varphi }^{\prime }$的代表式代入方程式(2)，分別匹配實值部分、虛值部分，可以得到兩個方程式：

$\hslash A^{\prime }(x)+A(x{)}^2-B(x{)}^2=2m(V(x)-E)$，(3)

$\hslash B^{\prime }(x)+2A(x)B(x)=0$。(4)

半經典近似

將$A(x)$與$B(x)$展開為$\hslash$的冪級數：

$A(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\hslash }^n{A}_n(x)$，

$B(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\hslash }^n{B}_n(x)$。

將兩個冪級數代入方程式(3)與(4)。$\hslash$的零次冪項目給出：

$A_0(x{)}^2-B_0(x{)}^2=2m(V(x)-E)$，

$A_0(x)B_0(x)=0$。

假若波幅變化地足夠慢於相位（$A_0(x)\ll B_0(x)$），那麼，我們可以設定

$A_0(x)=0$，

$B_0(x)=\pm \sqrt{2m(E-V(x))}$。

只有當$E\ge V(x)$的時候，這方程式才成立。經典運動只會允許這種狀況發生。

更精確一點，$\hslash$的一次冪項目給出：

${A_0}^{\prime }+2A_0{A}_1-2B_0{B}_1=-2B_0{B}_1=0$，

${B_0}^{\prime }+2A_0{B}_1+2B_0{A}_1={B_0}^{\prime }+2B_0{A}_1=0$。

所以，

$B_1=0$，

$A_1=-\frac{{B_0}^{\prime }}{2B_0}=\frac{d}{dx}ln{B}_0^{-1/2}$。

波函數的波幅是 $\exp [{\int }^{x}A(x^{\prime })d{x}^{\prime }/\hslash ]=\frac{1}{\sqrt{B_0}}$。

定義動量$p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$，則波函數的近似為

$\psi (x)\approx \frac{C_{\pm }}{\sqrt{p(x)}}{e}^{\pm i\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}p(x^{\prime })\mathrm{d}{x}^{\prime }/\hslash }$；(5)

其中，$C_{+}$和$C_{-}$是常數，$x_0$是一個任意參考點的坐標。

換到另一方面，假若相位變化地足夠慢於波幅（$B_0(x)\ll A_0(x)$），那麼，我們可以設定

$A_0(x)=\pm \sqrt{2m(V(x)-E)}$，

$B_0(x)=0$。

只有當$V(x)\ge E$的時候，這方程式才成立。經典運動不會允許這種狀況發生。只有在量子系統裏，才會發生這種狀況，稱為量子穿隧效應。類似地計算，可以求得波函數的近似為

$\psi (x)\approx \frac{C_{\pm }}{\sqrt{p(x)}}{e}^{\pm \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}p(x^{\prime })\mathrm{d}{x}^{\prime }/\hslash }$；(6)

其中，$p(x)=\sqrt{2m(V(x)-E)}$。

連接公式

顯而易見地，我們可以從分母觀察出來，在經典轉向點$E=V(x)$，這兩個近似方程式(5)和(6)會發散，無法表示出物理事實。我們必須正確地找到波函數在經典轉向點的近似解答。設定$x_1<x<x_2$是經典運動允許區域。在這區域內，$E>V(x)$，波函數呈振動形式。其它區域$x<x_1$和$x_2<x$是經典運動不允許區域，波函數呈指數遞減形式。假設在經典轉向點附近，位勢足夠的光滑，可以近似為線性函數。更詳細地說，在點$x_2$附近，將 $\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)$展開為一個冪級數：

$\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)=U_1(x-x_2)+U_2(x-x_2{)}^2+\cdots$；

其中，$U_1,U_2,\cdots$是常數值係數。

取至一階，方程式(1)變為

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\psi (x)=U_1(x-x_2)\psi (x)$。

這微分方程式稱為艾里方程式，其解為著名的艾里函數：

$\psi (x)=C_{2A}\text{Ai}(\sqrt[3]{U_1}(x-x_2))+C_{2B}\text{Bi}(\sqrt[3]{U_1}(x-x_2))$。

匹配艾里函數和在$x<x_2$的波函數，在$x_2<x$的波函數，經過一番繁雜的計算，可以得到在$x_2$附近的連接公式（Template:Lang）：

$\psi (x)=\{\begin{array}{cc}\frac{2C_2}{\sqrt{p(x)}}\sin (\frac{1}{\hslash }\underset{x}{\overset{x_2}{\int }}p(x^{\prime })d{x}^{\prime }+\frac{\pi }{4})& \text{if }x<x_2\\ \frac{C_2}{\sqrt{|p(x)|}}\exp (-\underset{x_2}{\overset{x}{\int }}|p(x^{\prime })|d{x}^{\prime }/\hslash )& \text{if }{x}_2<x\end{array}$ 。

類似地，也可以得到在$x_1$附近的連接公式：

$\psi (x)=\{\begin{array}{cc}\frac{C_1}{\sqrt{|p(x)|}}\exp (-\underset{x}{\overset{x_1}{\int }}|p(x^{\prime })|d{x}^{\prime }/\hslash )& \text{if }x<x_1\\ \frac{2C_1}{\sqrt{p(x)}}\sin (\frac{1}{\hslash }\underset{x_1}{\overset{x}{\int }}p(x^{\prime })d{x}^{\prime }+\frac{\pi }{4})& \text{if }{x}_1<x\end{array}$ 。

量子化規則

在經典運動允許區域$x_1<x<x_2$內的兩個連接公式也必須匹配。設定角變量

${\theta }_1=-\frac{1}{\hslash }\underset{x_1}{\overset{x}{\int }}p(x^{\prime })d{x}^{\prime }-\frac{\pi }{4}$，

${\theta }_2=\frac{1}{\hslash }\underset{x}{\overset{x_2}{\int }}p(x^{\prime })d{x}^{\prime }+\frac{\pi }{4}$，

$\alpha =\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}p(x)dx/\hslash$。

那麼，

$\alpha ={\theta }_2-{\theta }_1-\pi /2$，

$-C_1\sin {\theta }_1=C_2\sin {\theta }_2=C_2\sin ({\theta }_1+\alpha +\pi /2)$。

立刻，我們可以認定$|C_1|=|C_2|$。匹配相位，假若$C_1=C_2$，那麼，

$\alpha +\pi /2=(2m-1)\pi ,m=1,2,3,\dots$。

所以，

$\alpha =(2m-3/2)\pi ,m=1,2,3,\dots$。

假若$C_1=-C_2$，那麼，

$\alpha +\pi /2=2m\pi ,m=1,2,3,\dots$。

所以，

$\alpha =(2m-1/2)\pi ,m=1,2,3,\dots$。

總結，量子系統必須滿足量子化守則：

$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}p(x)dx=(n-1/2)\pi \hslash ,n=1,2,3,\dots$。

範例

考慮一個量子諧振子系統，一個質量為$m$的粒子，運動於諧振位勢$V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$；其中，$\omega$是角頻率。求算其本徵能級$E_n$？

能量為$E$的粒子，其運動的古典轉向點$x_t$為

$E=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}_t^2$。

所以，

$x_t=\pm \sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}}$。

粒子的動量為

$p(x)=\sqrt{2m(E-\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2)}$。

將這些變量代入量子化守則：

$\underset{-2E/m{\omega }^2}{\overset{2E/m{\omega }^2}{\int }}\sqrt{2m(E-\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2)}dx=(n-1/2)\pi \hslash ,n=1,2,3,\dots$。

經過一番運算，可以得到本徵能量

$E_n=(n-1/2)\omega \hslash ,n=1,2,3,\dots$。

藉由以上之計算，發現近似解與精確解完全一樣。

參閱

• 微擾理論 (量子力學)
• 量子穿隧效應
• 舊量子論

參考文獻

現代文獻

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歷史文獻

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