自旋-軌道作用

Template:NoteTA Template:量子力学 在量子力學裏，一個粒子因為自旋與軌道運動而產生的作用，稱為自旋-軌道作用（Template:Lang-en），也稱作自旋-軌道效應或自旋-軌道耦合。最著名的例子是電子能級的位移。電子移動經過原子核的電場時，會產生電磁作用．電子的自旋與這電磁作用的耦合，形成了自旋-軌道作用。譜線分裂實驗明顯地偵測到電子能級的位移，證實了自旋-軌道作用理論的正確性。另外一個類似的例子是原子核殼層模型能級的位移。

半導體或其它新穎材料常常會涉及電子的自旋-軌道效應。自旋電子學專門研究與應用這方面的問題。

電子的自旋-軌道作用

在這篇文章裏，會以相當簡單與公式化的方式，詳細地講解一個束縛於原子內的電子的自旋-軌道作用理論。這會用到電磁學、非相對論性量子力學、一階微擾理論。這自旋-軌道作用理論給出的答案，雖然與實驗結果並不完全相同，但相當的符合。更嚴謹的導引應該從狄拉克方程式開始，也會求得相同的答案。若想得到更準確的答案，則必須用量子電動力學來計算微小的修正。這兩種方法都在本條目範圍之外。

磁場

雖然在原子核的靜止參考系 (Template:Lang) ，並沒有作用在電子上的磁場；在電子的靜止參考系，有作用在電子上的磁場存在。暫時假設電子的靜止參考系為慣性參考系，則根據狹義相對論，磁場 $𝐁$ 是

$𝐁=-\frac{𝐯\times 𝐄}{c^2}$ ；(1)

其中，$𝐯$ 是電子的速度，$𝐄$ 是電子運動經過的電場，$c$ 是光速。

以質子的位置為原點，則從質子產生的電場是

$𝐄=\frac{Ze}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}\widehat{𝐫}=\frac{Ze}{4\pi {ϵ}_0{r}^3}𝐫$ ；

其中，$Z$ 是質子數量（原子序數），$e$ 是單位電荷量，${ϵ}_0$ 是真空電容率，$\hat{r}$ 是徑向單位向量，$r$ 是徑向距離，徑向向量 $𝐫$ 是電子的位置。

電子的動量 $𝐩$ 是

$𝐩=m𝐯$ ；

其中，$m$ 是電子的質量。

所以，作用於電子的磁場是

$𝐁=\frac{Ze}{4\pi {ϵ}_{0}m{c}^2{r}^3}𝐫\times 𝐩=\frac{Ze}{4\pi {ϵ}_{0}m{c}^2{r}^3}𝐋$ ；(2)

其中，$𝐋$ 是角動量，$𝐋=𝐫\times 𝐩$ 。

$𝐁$ 是一個正值因子乘以 $𝐋$ ，也就是說，磁場與電子的軌道角動量平行。

磁矩

電子自旋的磁矩 $\mathit{\mu }$ 是

$\mathit{\mu }=\gamma 𝐒$ ；

其中，$\gamma =\frac{g_s{q}_e}{2m}$ 是旋磁比 (Template:Lang) ，$𝐒$ 是自旋角动量，$g_s$ 是朗德g因子，$q_e$ 是電荷量。

電子的朗德g因子（g-factor）是 $2$ ，電荷量是 $-e$ 。所以，

$\mathit{\mu }=-\frac{e}{m}𝐒$ 。(3)

電子的磁矩與自旋反平行。

哈密頓量微擾項目

自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目是

$H^{\prime }=-\mathit{\mu }\cdot 𝐁$ 。

代入 $\mathit{\mu }$ 的公式 (3) 和 $𝐁$ 的公式(2)，經過一番運算，可以得到

$H^{\prime }=\frac{Z{e}^2}{4\pi {ϵ}_0{m}^2{c}^2}\frac{𝐋\cdot 𝐒}{r^3}$

一直到現在，都還沒有考慮到電子靜止坐標乃非慣性坐標。這事實引發的效應稱為托馬斯進動 (Template:Lang) 。因為這效應，必須添加因子 $1/2$ 在公式裏。所以，

$H^{\prime }=\frac{Z{e}^2}{8\pi {ϵ}_0{m}^2{c}^2}\frac{𝐋\cdot 𝐒}{r^3}$ 。

能級位移

在準備好了自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目以後，現在可以估算這項目會造成的能量位移。特別地，想要找到 $H_0$ 的本徵函數形成的基底，使 $H^{\prime }$ 能夠對角化。為了找到這基底，先定義總角動量算符 $𝐉$ ：

$𝐉=𝐋+𝐒$ 。

總角動量算符與自己的內積是

${𝐉}^2={𝐋}^2+{𝐒}^2+2𝐋\cdot 𝐒$ 。

所以，

$𝐋\cdot 𝐒=\frac{1}{2}({𝐉}^2-{𝐋}^2-{𝐒}^2)$ 。

請注意 $H^{\prime }$ 與 $𝐋$ 互相不對易， $H^{\prime }$ 與 $𝐒$ 互相不對易。讀者可以很容易地證明這兩個事實。由於這兩個事實，$H_0$ 與 $𝐋$ 的共同本徵函數不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 $E^{(1)}$ 。$H_0$ 與 $𝐒$ 的共同本徵函數也不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 $E^{(1)}$ 。可是， $H^{\prime }$ 、$J^2$ 、$L^2$ 、$S^2$ ，這四個算符都互相對易。$H_0$ 、$J^2$ 、$L^2$ 、$S^2$ ，這四個算符也都互相對易。所以，$H_0$ 、$J^2$ 、$L^2$ 、$S^2$ ，這四個算符的共同本徵函數 $|n,j,l,s⟩$ 可以被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 $E_n^{(1)}$ ；其中， $n$ 是主量子數，$j$ 是總角量子數，$l$ 是角量子數，$s$ 是自旋量子數。這一組本徵函數所形成的基底，就是想要尋找的基底。這共同本徵函數 $|n,j,l,s⟩$ 的 $𝐋\cdot 𝐒$ 的期望值是

$\begin{array}{cc}⟨n,j,l,s|𝐋\cdot 𝐒|n,j,l,s⟩& =\frac{1}{2}(⟨{𝐉}^2⟩-⟨{𝐋}^2⟩-⟨{𝐒}^2⟩)\\ & =\frac{{\hslash }^2}{2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\\ & =\frac{{\hslash }^2}{2}[j(j+1)-l(l+1)-3/4]\\ \end{array}$；

其中，電子的自旋 $s=1/2$ 。

經過一番繁瑣的運算，可以得到 $r^{-3}$ 的期望值

$⟨n,j,l,s|r^{-3}|n,j,l,s⟩=\frac{2Z^3}{a_0^3{n}^{3}l(l+1)(2l+1)}$ ；

其中，$a_0=\frac{4\pi {ϵ}_0{\hslash }^2}{m{e}^2}$ 是波耳半徑。

將這兩個期望值的公式代入，能級位移是

$E_n^{(1)}=\frac{Z^4{e}^2{\hslash }^2}{8\pi {ϵ}_0{m}^2{c}^2{a}_0^3}\frac{[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{n^{3}l(l+1)(2l+1)}$ 。

經過一番運算，可以得到

$E_n^{(1)}=\frac{(E_n^{(0)}{)}^2}{m{c}^2}\frac{2n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1)(2l+1)}$ ；

其中，$E_n^{(0)}=\frac{Z^2{\hslash }^2}{2m{a}_0^2{n}^2}$ 是主量子數為 $n$ 的零微擾能級。

特別注意，當 $l=0$ 時，這方程式會遇到除以零的不可定義運算；雖然分子項目 $j(j+1)-l(l+1)-3/4=0$ 也等於零。零除以零，仍舊無法計算這方程式的值。很幸運地，在精細結構能量微擾的計算裏，這不可定義問題自動地會消失。事實上，當 $l=0$ 時，電子的軌道運動是球對稱的。這可以從電子的波函數的角部分觀察出來，$l=0$ 球諧函數是

$Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi }}$ ，

由於完全跟角度無關，角動量也是零，電子並不會感覺到任何磁場，所以，電子的 $l=0$ 軌道沒有自旋-軌道作用。

參閱

• 斯塔克效應
• 塞曼效應
• 超精細結構
• 蘭姆位移

參考文獻

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外部連結

• 圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學： 自旋-軌道作用