佩尔数

Template:NoteTA 佩尔数是一个自古以来就知道的整数数列，由递推关系定义，与斐波那契数类似。佩尔数呈指数增长，增长速率与白银比的幂成正比。它出现在2的算術平方根的近似值以及三角平方数的定义中，也出现在一些组合数学的问题中。

定义

佩尔数由以下的递推关系定义：

P_{n} = {\begin{matrix} 0 & if n = 0; \\ 1 & if n = 1; \\ 2 P_{n - 1} + P_{n - 2} & otherwise. \end{matrix}

也就是说，佩尔数的数列从0和1开始，以后每一个佩尔数都是前面的数的两倍加上再前面的数。最初几个佩尔数是：

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… Template:OEIS。

佩尔数也可以用通项公式来定义：

P_{n} = \frac{(1 + \sqrt{2})^{n} - (1 - \sqrt{2})^{n}}{2 \sqrt{2}} .

对于较大的n， $(1 + \sqrt{2})^{n}$ 的项起主要作用，而 $(1 - \sqrt{2})^{n}$ 的项则变得微乎其微。因此佩尔数大约与白银比 $(1 + \sqrt{2})$ 的幂成正比。

第三种定义是以下的矩阵公式：

(\begin{matrix} P_{n + 1} & P_{n} \\ P_{n} & P_{n - 1} \end{matrix}) = {(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})}^{n} .

从这些定义中，可以推出或证明许多恒等式；例如以下的恒等式，与斐波那契数的卡西尼恒等式类似：

P_{n + 1} P_{n - 1} - P_{n}^{2} = (- 1)^{n},

这个恒等式是以上矩阵公式的直接结果（考虑矩阵的行列式）。

2的算術平方根的近似值

佩尔数出现在2的算術平方根的有理数近似值中。如果两个大的整数x和y 是佩尔方程的解：

x^{2} - 2 y^{2} = \pm 1,

那么它们的比 $\frac{x}{y}$ 就是 $\sqrt{2}$ 的一个较精确的近似值。这种形式的近似值的数列是：

1, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots

其中每一个分数的分母是佩尔数，分子则是这个数与前一个佩尔数的和。也就是说，佩尔方程的解具有 $\frac{P_{n - 1} + P_{n}}{P_{n}}$ 的形式。 $\sqrt{2} \approx \frac{577}{408}$ 是这些近似值中的第八个，在公元前3或4世纪就已经为印度数学家所知。公元前5世纪的古希腊数学家也知道这个近似值的数列；他们把这个数列的分母和分子称为“边长和直径数”，分子也称为“有理对角线”或“有理直径”。

这些近似值可以从 $\sqrt{2}$ 的连分数展开式推出：

\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{⋱}}}}} .

取这个展开式的有限个项，便可以产生 $\sqrt{2}$ 的一个近似值，例如：

\frac{577}{408} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}}}}} .

素数和平方数

佩尔素数是既是佩尔数又是素数的数。最初几个佩尔素数是：

2, 5, 29, 5741, …… Template:OEIS。

与斐波那契素数相似，仅当n本身是素数时 $P_{n}$ 才有可能是素数。

唯一的既是佩尔数又是平方数、立方数或任意整数次方的数是0, 1, 以及169 = 13²。

然而，佩尔数与三角平方数有密切的关系。它们出现在以下佩尔数的恒等式中：

((P_{k - 1} + P_{k}) \cdot P_{k})^{2} = \frac{(P_{k - 1} + P_{k})^{2} \cdot ((P_{k - 1} + P_{k})^{2} - (- 1)^{k})}{2} .

等式的左面是平方数，等式的右面是三角形数，因此是三角平方数。

Santana和Diaz-Barrero在2006年证明了佩尔数与平方数之间的另外一个恒等式，并证明了从 $P_{1}$ 到 $P_{4 n + 1}$ 的所有佩尔数的和总是平方数：

\sum_{i = 0}^{4 n + 1} P_{i} = {(\sum_{r = 0}^{n} 2^{r} (\binom{2 n + 1}{2 r}))}^{2} = (P_{2 n} + P_{2 n + 1})^{2} .

例如，从 $P_{1}$ 到 $P_{5}$ 的和是 $0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49$ ，是 $P_{2} + P_{3} = 2 + 5 = 7$ 的平方。 $P_{2 n} + P_{2 n + 1}$ 就是这个和的平方根：

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, …… Template:OEIS。

勾股数

如果一个直角三角形的边长为a、b和c（必须满足勾股定理a²+b²=c²），那么(a,b,c)称为勾股数。Martin在1875年描述，佩尔数可以用来产生勾股数，其中a和b相差一个单位。这个勾股数具有以下形式：

(2 P_{n} P_{n + 1}, P_{n + 1}^{2} - P_{n}^{2}, P_{n + 1}^{2} + P_{n}^{2} = P_{2 n + 1}) .

用这种方法产生的勾股数的序列是：

(3,4,5), (20,21,29), (119,120,169), (696,697,985), ……

佩尔-卢卡斯数

佩尔-卢卡斯数由以下的递推关系定义：

Q_{n} = {\begin{matrix} 2 & if n = 0; \\ 2 & if n = 1; \\ 2 Q_{n - 1} + Q_{n - 2} & otherwise. \end{matrix}

也就是说，数列中的最初两个数都是2，后面每一个数都是前一个数的两倍加上再前面的一个数。这个数列的最初几个项是Template:OEIS：2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478……

佩尔-卢卡斯数的通项公式为：

Q_{n} = (1 + \sqrt{2})^{n} + (1 - \sqrt{2})^{n} .

这些数都是偶数，每一个数都是以上 $\sqrt{2}$ 的近似值中的分子的两倍。

参考文献

外部链接

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2的算術平方根的近似值

素数和平方数

勾股数

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