算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式，簡稱算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设$x_1,x_2,\dots ,x_n$为$n$个非負实数，它们的算术平均数是${𝐀}_n=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$，它们的几何平均数是${𝐆}_n=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}$。算术-几何平均值不等式表明，对任意的非负实数$x_1,\dots ,x_n$：

${𝐀}_n\ge {𝐆}_n$

等号成立当且仅当$x_1=x_2=\cdots =x_n$。

通常用于两个数之间，设这两个数为$a$和$b$，也就是$\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab}$

算术-几何平均值不等式仅适用于非負实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式（或均值不等式），其實后者是一组更廣泛的不等式。

例子

在$n=4$的情况，设：$x_1=3.5,x_2=6.2,x_3=8.4,x_4=5$，那么

${𝐀}_4=\frac{3.5+6.2+8.4+5}{4}=5.775,{𝐆}_4=\sqrt[4]{3.5\times 6.2\times 8.4\times 5}\approx 5.4945$

可见${𝐀}_4\ge {𝐆}_4$。

历史上的证明

历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。$n=2$的情况很早就为人所知，但对于一般的$n$，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明

1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出一个使用逆向归纳法的证明：

命题$P_n$：对任意的$n$个正实数$x_1,\dots ,x_n$，${𝐀}_n\ge {𝐆}_n$

当$n=2$时，$P_2$显然成立。假设$P_n$成立，那么$P_{2n}$成立。证明：对于$2n$个正实数$x_1,\cdots ,x_n,y_1,\cdots ,y_n$，

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n+y_1+\cdots y_n}{2n}=\frac{1}{2}(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}+\frac{y_1+\cdots +y_n}{n})$

$\ge \frac{1}{2}(\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}+\sqrt[n]{y_1\cdot y_2\cdots y_n})\ge \sqrt{\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}\cdot \sqrt[n]{y_1\cdot y_2\cdots y_n}}$

$=\sqrt[2n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n{y}_1\cdot y_2\cdots y_n}$

假设$P_n$成立，那么$P_{n-1}$成立。证明：对于$n-1$个正实数$x_1,\cdots ,x_{n-1}$，设${𝐀}_{n-1}=\frac{x_1+\cdots +x_{n-1}}{n-1}$，${𝐆}_{n-1}=\sqrt[n-1]{x_1\cdot x_2\cdots x_{n-1}}$，那么由于$P_n$成立，$\frac{x_1+\cdots +x_{n-1}+{𝐀}_{n-1}}{n}\ge \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_{n-1}{𝐀}_{n-1}}$。

但是$x_1+\cdots +x_{n-1}=(n-1){𝐀}_{n-1}$，$x_1\cdot x_2\cdots x_{n-1}={𝐆}_{n-1}^{n-1}$，因此上式正好变成

${𝐀}_{n-1}^n\ge {𝐆}_{n-1}^{n-1}{𝐀}_{n-1}$

也就是说${𝐀}_{n-1}\ge {𝐆}_{n-1}$

综上可以得到结论：对任意的自然数$n\ge 2$，命题$P_n$都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数$k$，命题$P_{2^k}$都成立。因此对任意的$n\ge 2$，可以先找$k$使得$2^k\ge n$，再结合第三条就可以得到命题$P_n$成立了。

归纳法的证明

使用常规数学归纳法的证明则有Template:Tsl（George Chrystal）在其著作《代数论》（Algebra）的第二卷中给出的：

由对称性不妨设$x_{n+1}$是$x_1,x_2\cdots x_{n+1}$中最大的，由于${𝐀}_{n+1}=\frac{n{𝐀}_n+x_{n+1}}{n+1}$，设$x_{n+1}={𝐀}_n+b$，则$b\ge 0$，并且有${𝐀}_{n+1}={𝐀}_n+\frac{b}{n+1}$。

根据二项式定理，

${𝐀}_{n+1}^{n+1}=({𝐀}_n+\frac{b}{n+1}{)}^{n+1}\ge {𝐀}_n^{n+1}+(n+1){𝐀}_n^n\frac{b}{n+1}={𝐀}_n^n({𝐀}_n+b)={𝐀}_n^n{x}_{n+1}\ge {𝐆}_n^n{x}_{n+1}$

$=x_1{x}_2\cdots x_{n+1}={𝐆}_{n+1}^{n+1}$

于是完成了从$n$到$n+1$的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明：

在$n$的情况下有不等式${𝐀}_n\ge {𝐆}_n$和$x_{n+1}+(n-1){𝐆}_{n+1}\ge n\sqrt[n]{x_{n+1}{𝐆}_{n+1}^{n-1}}$成立，于是：

$\frac{x_1+x_2\cdots +x_n+x_{n+1}+(n-1){𝐆}_{n+1}}{n}\ge {𝐆}_n+\sqrt[n]{x_{n+1}{𝐆}_{n+1}^{n-1}}\ge 2\sqrt[2n]{{𝐆}_n^n{x}_{n+1}{𝐆}_{n+1}^{n-1}}=2{𝐆}_{n+1}$

所以$(n+1){𝐀}_{n+1}=x_1+x_2\cdots +x_n+x_{n+1}\ge 2n{𝐆}_{n+1}-(n-1){𝐆}_{n+1}=(n+1){𝐆}_{n+1}$，从而有${𝐀}_{n+1}\ge {𝐆}_{n+1}$。

基于琴生不等式的证明

注意到几何平均数${𝐆}_n$实际上等于$\exp \left(\frac{\ln x_1+\ln x_2+\cdots +\ln x_n}{n}\right)$，因此算术-几何平均不等式等价于：

$\ln \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\ge \frac{\ln x_1+\ln x_2+\cdots +\ln x_n}{n}$。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

基于排序不等式的证明

令$b_i=\frac{a_i}{{𝐆}_n}(i=1,2,3,...,n)$，于是有$b_1{b}_2\cdots b_n=1$，再作代换$b_1=\frac{c_1}{c_2},b_2=\frac{c_2}{c_3},\cdots ,b_n=\frac{c_n}{c_1}$，运用排序不等式得到：

$\frac{c_1}{c_2}+\frac{c_2}{c_3}+\cdots +\frac{c_n}{c_1}⩾\frac{c_1}{c_1}+\frac{c_2}{c_2}+...+\frac{c_n}{c_n}=n$，

于是得到$a_1+a_2+\cdots +a_n⩾n{𝐆}_n$，即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设$x_1,\cdots ,x_n$和$p_1,\cdots ,p_n$为正实数，并且$p_1+p_2\cdots +p_n=1$，那么：

$p_1{x}_1+p_2{x}_2\cdots +p_n{x}_n\ge x_1^{p_1}{x}_2^{p_2}\cdots x_n^{p_n}$。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系数都是正实数的矩阵

$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1k}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nk}\end{array}\right]$

设$A_j=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_{ij}$，$G_i=\sqrt[k]{\prod _{j=1}^k{a}_{ij}}$，那么有：

$\sqrt[k]{A_1{A}_2\cdots A_k}⩽\frac{G_1+G_2+\cdots +G_n}{n}$

也就是说：对$k$个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对$n$个横行取的$n$个几何平均数的算术平均。

极限形式

也称为积分形式：对任意在区间$[0,1]$上可积的正值函数$f$，都有

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx\ge \exp (\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln f(x)dx)$

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\ge \exp (\frac{\ln x_1+\ln x_2+\cdots +\ln x_n}{n})$后，将两边的黎曼和中的$n$趋于无穷大后得到的形式。

算數-幾何-調和平均值不等式

若再規定$x_1,x_2,\dots ,x_n$的调和平均数$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}.$

則有

${𝐀}_n\ge {𝐆}_n\ge {𝐇}_n$

且等号依舊成立当且仅当$x_1=x_2=\cdots =x_n$。

證明由算數-幾何平均值不等式知

$\frac{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}{n}\ge \sqrt[n]{\frac{1}{x_1}\frac{1}{x_2}\cdots \frac{1}{x_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}}$

故

$\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}\ge \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}$

即

${𝐆}_n\ge {𝐇}_n$

且等號成立於

$\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}=\cdots =\frac{1}{x_n}$

即

$x_1=x_2=\cdots =x_n$

参见

• 平均数不等式
• 算术平均数
• 几何平均数
• 幂平均不等式
• 杨氏不等式

参考来源

• 匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
• 李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
• 莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
• 李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。