格尔丰德-施奈德定理

格尔丰德-施奈德定理（Template:Lang-en）是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由苏联数学家亚历山大·格尔丰德和德国数学家西奧多·施耐德在1934年分别独立证明，它解決了希尔伯特第七问题。

表述

如果$\alpha$和$\beta$是代数数，其中$\alpha \notin \{0,1\}$，且$\beta$不是有理数，那么任何${\alpha }^{\beta }=e^{\{\beta \log \alpha \}}$的值一定是超越数。

评论

• $\alpha$ 和 $\beta$ 不限于实数，也可以是虚部不为零的复数。因此，${\alpha }^{\beta }=\exp \{\beta \log \alpha \}$可以是多值的，其中“log”表示复数对数，且该定理对每个值都是成立的。
• 该定理的一个等价的表述是：如果 $\alpha$ 和 $\gamma$ 是非零的代数数，那么 $(\log \gamma )/(\log \alpha )$ 要么是有理数，要么是超越数。

使用反證法。

令 $\beta =(\log \gamma )/(\log \alpha )={\log }_{\alpha }\gamma$

假設 $\beta$ 不為超越數，也不為有理數，即為代數數

根據此定理，${\alpha }^{\beta }=\gamma$ 為超越數

但 ${\alpha }^{\beta }={\alpha }^{{\log }_{\alpha }\gamma }=\gamma$ 卻是代數數，矛盾。

故 $(\log \gamma )/(\log \alpha )$ 要么是有理数，要么是超越数。

• 如果没有 $\alpha$，$\beta$ 是代数数的限制，这个定理未必成立。例如：
  • 令 $\alpha ={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ 為超越數（由本定理可得知），$\beta =\sqrt{2}$ 為代數數，則

${\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}={\sqrt{2}}^2=2$，是代數數。

• • 令 $\alpha =3$ 為代數數，$\beta =\log 2/\log 3$ 為超越數，則

${\alpha }^{\beta }=2$，是代数数。

定理的应用

利用这个定理，立刻就可以推出以下实数的超越性：

• $2^{\sqrt{2}}$（格尔丰德-施奈德常数）和它的平方根 ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$。
• 格尔丰德常数

$e^{\pi }={\left(e^{i\pi }\right)}^{-i}=(-1{)}^{-i}=23.1406926328\dots$

• $i^i={\left(e^{\frac{i\pi }{2}}\right)}^i=e^{-\frac{\pi }{2}}=0.20787957635\dots$

参见

• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理
• Schanuel猜想，如果证明了这个猜想，就可以同时推出格尔丰德-施奈德定理和林德曼-魏尔斯特拉斯定理。

参考文献

• Irrational Numbers, by Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956
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