全微分方程

Template:NoteTA Template:微積分學 全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。

定义

给定R²的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J，那么以下形式的一阶常微分方程

$I(x,y)\mathrm{d}x+J(x,y)\mathrm{d}y=0,$

称为全微分方程，当且仅当存在一个连续可微的函数F，称为势函数，使得

$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=I$

以及

$\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=J.$

“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数$F(x_0,x_1,...,x_{n-1},x_n)$，全导数为：

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum _{i=1}^n\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}{x}_0}.$

例子

函数

$F(x,y):=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$

是以下全微分方程的势函数。

$x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }=0.$

势函数的存在

在物理学的应用中，I和J通常不仅是连续的，也是连续可微的。施瓦茨定理（也称为克莱罗定理）提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程，这个条件也是充分的，我们便得出以下的定理：

给定以下形式的微分方程：

$I(x,y)dx+J(x,y)dy=0,$

其中I和J在R²的单连通开子集D上是连续可微的，那么势函数F存在，当且仅当下式成立：

$\frac{\partial I}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial J}{\partial x}(x,y).$

全微分方程的解

给定一个定义在R²的单连通开子集D上的全微分方程，其势函数为F，那么D内的可微函数f是微分方程的解，当且仅当存在实数c，使得

$F(x,f(x))=c.$

对于初值问题

$y(x_0)=y_0$

我们可以用以下公式来寻找一个势函数：

$F(x,y)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}I(t,y_0)dt+\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}J(x,t)dt.$

解方程

$F(x,y)=c$

其中c是实数，我们便可以构造出所有的解。

参见

• 全微分
• 里卡蒂方程
• 伯努利微分方程
• 柯西-欧拉方程
• 克莱罗方程
• 线性微分方程

参考文献

• Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
• Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004.
• Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.