Β函数

一种B函数图像

Β函数，又称为贝塔函数或第一类欧拉积分，是一个特殊函数，由下式定义：

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t$

其中$\text{Re}(x),\text{Re}(y)>0$。

性质

Β函数具有以下對稱性質：

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x).$

当x,y是正整数的时候，我们可以从伽马函数定义得到如下式子：

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}$

它有许多其它的形式，包括：

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

$\mathrm{B}(x,y)=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(\sin \theta {)}^{2x-1}(\cos \theta {)}^{2y-1}\mathrm{d}\theta ,\text{Re}(x)>0,\text{Re}(y)>0$

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}\mathrm{d}t,\text{Re}(x)>0,\text{Re}(y)>0$

$\mathrm{B}(x,y)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-y}{n})}{x+n},$

$\mathrm{B}(x,y)=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{xy}{n(x+y+n)})}^{-1},$

$\mathrm{B}(x,y)\cdot \mathrm{B}(x+y,1-y)=\frac{\pi }{x\sin (\pi y)},$

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{1}{y}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{y^{n+1}}{n!(x+n)}$

其中$\mathrm{\Gamma }$是伽玛函数。

就像伽玛函数描述了阶乘一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数：

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{1}{(n+1)\mathrm{B}(n-k+1,k+1)}$

伽玛函数与贝塔函数之间的关系

为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为：

$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u}{u}^{x-1}\mathrm{d}u\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-v}{v}^{y-1}\mathrm{d}v.$

现在，设$u=a^2$, $v=b^2$，因此：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a^2}{a}^{2x-1}\mathrm{d}a\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-b^2}{b}^{2y-1}\mathrm{d}b\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(a^2+b^2)}|a{|}^{2x-1}|b{|}^{2y-1}\mathrm{d}a\mathrm{d}b.\end{array}$

利用变量代换$a=r\cos \theta$和$b=r\sin \theta$，可得：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}|r\cos \theta {|}^{2x-1}|r\sin \theta {|}^{2y-1}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}{r}^{2x+2y-2}r\mathrm{d}r\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|(\cos \theta {)}^{2x-1}(\sin \theta {)}^{2y-1}|\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}{r}^{2(x+y-1)}\mathrm{d}(r^2)4\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(\cos \theta {)}^{2x-1}(\sin \theta {)}^{2y-1}\mathrm{d}\theta \\ & =\mathrm{\Gamma }(x+y)2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(\cos \theta {)}^{2x-1}(\sin \theta {)}^{2y-1}\mathrm{d}\theta \\ & =\mathrm{\Gamma }(x+y)\mathrm{B}(x,y).\end{array}$

因此，有：

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}.$

导数

贝塔函数的导数是：

$\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)(\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x+y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)})=\mathrm{B}(x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))$

其中$\psi (x)$是双伽玛函数。

估计

斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：

$\mathrm{B}(x,y)\approx \sqrt{2\pi }\frac{x^{x-\frac{1}{2}}{y}^{y-\frac{1}{2}}}{{\left(x+y\right)}^{x+y-\frac{1}{2}}}.$

不完全贝塔函数

不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替，就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。

不完全贝塔函数定义为：

$\mathrm{B}(x;a,b)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt.$

当x = 1，上式即化为贝塔函数。

正则不完全贝塔函数（或简称正则贝塔函数）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：

$I_x(a,b)=\frac{\mathrm{B}(x;a,b)}{\mathrm{B}(a,b)}.$

当a和b是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法），可得：

$I_x(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}\frac{(a+b-1)!}{j!(a+b-1-j)!}{x}^j(1-x{)}^{a+b-1-j}.$

正则不完全贝塔函数是Β分布的累積分布函數，可由二項式分布描述一個實隨機變量X的機率分布：

$F(k;n,p)=\mathrm{Pr}(X\le k)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_p(k+1,n-k)$

其中p為試驗成功機率，n為樣本數。

性质

$I_0(a,b)=0$

$I_1(a,b)=1$

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$

参见

• Β分布
• 二项分布
• 伽玛函数

参考文献

• M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See §6.2, 6.6, and 26.5） Template:Wayback
• W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
• Template:Planetmath reference

外部链接

• 贝塔函数计算器
• 不完全贝塔函数计算器
• 正则不完全贝塔函数计算器