多伽玛函数

$𝒎$阶多伽玛函数是伽玛函数的第$(𝒎\mathit{+}1)$个对数导数。

${\psi }^{(m)}(\zeta )={\left(\frac{d}{d\zeta }\right)}^m\psi (\zeta )={\left(\frac{d}{d\zeta }\right)}^{m+1}\ln \mathrm{\Gamma }(\zeta )$

在这里

$\psi (\zeta )={\psi }^{(0)}(\zeta )=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(\zeta )}{\mathrm{\Gamma }(\zeta )}$

是双伽玛函数，$\mathrm{\Gamma }(\zeta )$是伽玛函数。函数${\psi }^{(1)}(\zeta )$有时称为三伽玛函数。

伽玛函数的对数，以及最初几个多伽玛函数

$\ln \mathrm{\Gamma }(\zeta )$	${\psi }^{(0)}(\zeta )$	${\psi }^{(1)}(\zeta )$	${\psi }^{(2)}(\zeta )$	${\psi }^{(3)}(\zeta )$	${\psi }^{(4)}(\zeta )$

积分表示法

多伽玛函数可以表示为：

${\psi }^{(m)}(\zeta )=(-1{)}^{m+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^m{e}^{-\zeta t}}{1-e^{-t}}dt$

当Re z >0和m > 0时成立。对于m = 0，参见双伽玛函数的定义。

递推关系

多伽玛函数具有以下的递推关系：

${\psi }^{(m)}(z+1)={\psi }^{(m)}(z)+(-1{)}^{m}m!z^{-(m+1)}.$

乘法定理

乘法定理给出：

$k^m{\psi }^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}{\psi }^{(m-1)}(z+\frac{n}{k})$

其中$m>1$。对于$m=0$，则是双伽玛函数：

$k(\psi (kz)-\log (k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi (z+\frac{n}{k})$

级数表示法

多伽玛函数有以下的级数表示法：

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^{m+1}}$

对m > 0和任何不等于负数的复数z都成立。还可以用赫尔维茨ζ函数来表示：

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z).$

泰勒级数

z = 1时，泰勒级数为：

${\psi }^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+k+1}(m+k)!\zeta (m+k+1)\frac{z^k}{k!},$

当|z| < 1时收敛。在这里，ζ是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推出。这个级数也可以用来推导出一些有理ζ级数。

参见

• 伽玛函数
• 双伽玛函数

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0 . 参见第§6.4Template:Wayback节。