笛卡儿叶形线

笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出。笛卡儿叶形线的隐式方程为：

x^{3} + y^{3} - 3 a x y = 0 .

在极坐标中的方程为：

r = \frac{3 a \sin θ \cos θ}{\sin^{3} θ + \cos^{3} θ} .

這個名字來自拉丁文的 folium ，意思是 "leaf"（葉子）。

曲线的特征

利用隐函数的求导法则，我们可以求出y'：

\frac{d y}{d x} = \frac{a y - x^{2}}{y^{2} - a x} .

利用直线的点斜式方程，我们可以求出点 $(x_{1}, y_{1})$ 处的切线方程：

y - y_{1} = \frac{a y_{1} - x_{1}^{2}}{y_{1}^{2} - a x_{1}} (x - x_{1}) .

当 $a y - x^{2} = 0$ 时，笛卡儿叶形线的切线是水平的。所以：

x = a \sqrt[3]{2} .

当 $y^{2} - a x = 0$ 时，笛卡儿叶形线的切线是竖直的。所以：

y = a \sqrt[3]{2} .

这可以通过曲线的对称来解释。我们可以看到，曲线有两条水平切线和两条竖直切线。笛卡儿叶形线关于 $y = x$ 对称，所以如果水平切线有坐标 $(x_{1}, y_{1})$ 的话，则一定有一个对应的竖直切线，坐标为 $(y_{1}, x_{1})$ 。

曲线有一条渐近线：

x + y + a = 0 .

这个渐近线的斜率是-1，x截矩和y截矩都是-a。

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