对数积分

Template:NoteTA 对数积分$\mathrm{li}(x)$是一个特殊函数。它出现在物理学的问题中，在数论中也有重要性，主要出現在與質數定理與黎曼猜想的相關理論之中。

对数积分

积分表示法

对数积分有一个积分的表示法，对所有的正实数$x\ne 1$都有定义：

$\mathrm{li}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln (t)}$

在这里，ln表示自然对数。函数1/ln (t)在t = 1处有一个奇点，当x > 1时，这个积分只能用柯西主值的概念来解释：

$\mathrm{li}(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }(\underset{0}{\overset{1-\epsilon }{\int }}\frac{dt}{\ln (t)}+\underset{1+\epsilon }{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln (t)})$

特殊值與欧拉对数积分

由於這個積分在x趨近於1時，值會趨近於負無窮大，有些數學家為了避免麻煩，常會選擇另外一個相似的定義，欧拉对数积分定义为：

$\mathrm{Li}(x)=\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2)$

或

$\mathrm{Li}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}$

函数li(x)有一個正根，它出现在x ≈ 1.45136 92348 ...。这个数称为Ramanujan-Soldner常数。

$\mathrm{li}(2)=-(\mathrm{\Gamma }(0,-\ln 2)+i\pi )\sim 1.045163780117492784844588889194613136522615578151$

其中$\mathrm{\Gamma }(a,x)$是不完全伽玛函数。

级数表示法

函数li(x)与指数积分Ei(x)有以下的关系：

$\text{li}(x)=\text{Ei}(\ln (x))$

其中$x>1$。这个等式提供了li(x)的一个级数表示法：

$\mathrm{li}(e^u)=\text{Ei}(u)=\gamma +\ln u+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^n}{n\cdot n!}\text{for }u\ne 0$

其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是欧拉-马歇罗尼常数。一个收敛得更快的级数，是：

$\mathrm{li}(x)=\gamma +\ln \ln x+\sqrt{x}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}(\ln x{)}^n}{n!2^{n-1}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{1}{2k+1}$

渐近展开式

当x → ∞，函数有以下的渐进表现：

$\mathrm{li}(x)=𝒪\left(\frac{x}{\ln (x)}\right)$

其中$𝒪$是大O符号。完整的渐近展开式为：

$\mathrm{li}(x)=\frac{x}{\ln x}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!}{(\ln x{)}^k}$

或

$\frac{\mathrm{li}(x)}{x/\ln x}=1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2}{(\ln x{)}^2}+\frac{6}{(\ln x{)}^3}+\cdots$

注意，作为渐近展开式，这个级数是发散的：只有级数前面有限个项才是较好的估计。这个展开式可从指数积分的渐近展开式直接推出。

数论中的重要性

对数积分在数论中十分重要，出现在小于某个整数的素数个数的估计中。例如，質數定理表明：

$\pi (x)\sim \mathrm{Li}(x)$

其中π(x)是小于或等于x的素数的个数。

参见

• 指数积分
• 三角积分

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5) Template:Wayback