集合域

Template:NoteTA Template:About 在集合代数中，域，或者代数，是指一种有序对$(\mathrm{\Omega },ℱ)$，其中 $\mathrm{\Omega }$ 是集合，$ℱ$ 是由集合 $\mathrm{\Omega }$ 的一些子集构成的一种集类，它满足 $\mathrm{\Omega }$ 自身是它的元素，且对加法（有限并）封闭和乘法（有限交）及逆（余集）运算封闭。在这样的集类中，空集类似于 0，因为和它相加（并）的任何集合结果还是自身；全集相当于 1，因为和它相乘（交）的任何集合还是自身。

也可把满足上述条件的集类$ℱ$称为域或代数

定义

非空集类 $ℱ\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$ 若满足以下条件：

1. $\mathrm{\Omega }\in ℱ$；
2. $\mathrm{\forall }A,B\in ℱ,A\cup B\in ℱ,A\cap B\in ℱ$(对有限并、有限交封闭)；
3. $\mathrm{\forall }A\in ℱ,A^c\in ℱ$(对补集运算封闭).

则称其为 $\mathrm{\Omega }$ 上的一个代数。

或者可以把代数定义为有元素 $\mathrm{\Omega }$ 和空集、对有限交（或有限并）和余集运算封闭的 $\mathrm{\Omega }$ 的子集类，这两者是等价的。

性质

无论从哪个定义出发，利用德摩根定律和集合交与并运算的分配律，都可列出代数具有如下性质：空集和全集是它的元素、对有限并和有限交封闭、对补集运算封闭、对差集运算封闭。

一个代数也一定是一个环。用可列不交并封闭一个代数，将得到一个σ-代数Template:Rp，而后者是数学严格化测度论与概率论非常重要的一种集类。

其中用可列不交并封闭一个代数 $ℱ$ 得到的新集类定义是：

${ℱ}_{\sum f}:=\{A|A=\sum _{i=1}^n{A}_i,A_i\in ℱ,i\ne j\Rightarrow A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing },i,j=1,2,\cdots \}$

其他定义

• $ℱ$ 是 $\mathrm{\Omega }$ 的幂集布尔代数的子代数。在明确上下文时，亦称 F 为集合域。
• $\mathrm{\Omega }$ 的元素称为点，而 $ℱ$ 的元素称为复形。

集合域在布尔代数的表示理论中扮演中心角色。所有布尔代数都可以被表示为集合域。

参见

• 内部代数
• Template:Le
• Stone布尔代数表示定理
• Template:Le
• 布尔环

参考

• Goldblatt, R., Algebraic Polymodal Logic: A Survey, Logic Journal of the IGPL, Volume 8, Issue 4, p. 393-450, July 2000
• Goldblatt, R., Varieties of complex algebras, Annals of Pure and Applied Logic, 44, p. 173-242, 1989
• Template:Cite book
• Naturman, C.A., Interior Algebras and Topology, Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics, 1991