中線

圖中$\mathrm{△}$ ABC和中线AD

中線或重線是三角形中从某邊的中點連向對角的頂點的线段。三角形的三条中线总是相交于同一点，这个点称为三角形的重心。

性质1

任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中線都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。

证明

考虑三角形ABC。设D为$\overline{AB}$的中点，E为$\overline{BC}$的中点，F为$\overline{AC}$的中点，O为重心。

根据定义，$AD=DB,AF=FC,BE=EC$，因此$[ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]$，其中$[ABC]$表示三角形ABC的面积。

我们有：

$[ABO]=[ABE]-[BEO]$

$[ACO]=[ACE]-[CEO]$

因此，$[ABO]=[ACO]$且$[ADO]=[DBO],[ADO]=\frac{1}{2}[ABO]$。

由于$[AFO]=[FCO],[AFO]=\frac{1}{2}[ACO]=\frac{1}{2}[ABO]=[ADO]$，所以$[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]$。 同理，也可以证明$[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]$。

性质2

在$\mathrm{△}$ ABC中，連接角A的中線記為$m_a$，連接角B的中線記為$m_b$，連接角C的中線記為$m_c$，它們長度的公式為：

$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}$

$m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(c^2+a^2)-b^2}$

$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}$

證明

在$\mathrm{△}$ABD中，$AD=m_a$

$(m_a{)}^2=(AB{)}^2+(BD{)}^2-2(AB)(BD)\cos \mathrm{\angle }ABD$（餘弦定理）

以a,b,c表示$\cos \mathrm{\angle }ABD$

$i.e.\cos \mathrm{\angle }ABD=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$ & $BD=\frac{a}{2}$

把以上兩等式代入原式，

$i.e.(m_a{)}^2=(c{)}^2+(\frac{a}{2}{)}^2-2(c)(\frac{a}{2})\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

$=(c{)}^2+(\frac{a^2}{4})-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})$

$=\frac{4c^2+a^2-2c^2-2a^2+2b^2}{4}$

$=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$

∴$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}$

同理，可證得其他二式

Q.E.D.

參見

• 中線定理
• 角平分線長公式