中線定理

中線定理，又稱阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形兩邊和中線長度關係。它等價於平行四邊形恆等式。

對任意三角形 $△ A B C$ ，設 $I$ 是線段 $\overline{B C}$ 的中點， $\overline{A I}$ 為中線，則有如下關係：

$\overset{2}{\overline{A B}} + \overset{2}{\overline{A C}} = 2 \overset{2}{\overline{B I}} + 2 \overset{2}{\overline{A I}}$

用萊布尼茨標量函數約簡，可以容易導出這性質：只需要在兩個平方中引入 $I$ ：

| \vec{A B} |^{2} + | \vec{A C} |^{2} = {| \vec{A I} + \vec{I B} |}^{2} + {| \vec{A I} + \vec{I C} |}^{2}

得出

| \vec{A B} |^{2} + | \vec{A C} |^{2} = | \vec{A I} |^{2} + | \vec{I B} |^{2} + 2 \vec{A I} \cdot \vec{I B} + | \vec{A I} |^{2} + | \vec{I C} |^{2} + 2 \vec{A I} \cdot \vec{I C}

$I$ 是 $B C$ 的中點，因此 $\vec{I B}$ 和 $\vec{I C}$ 相反，可知式中兩個標積抵消。又因 $\overline{I C} = \overline{I B}$ ，得出

\overset{2}{\overline{A B}} + \overset{2}{\overline{A C}} = 2 \overset{2}{\overline{A I}} + 2 \overset{2}{\overline{I B}}

這可能是阿波罗尼奥斯的證明方法，因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下：設 $H$ 是從 $A$ 到 $B C$ 的垂足，則 $△ B H A$ 和 $△ A H C$ 是直角三角形。用勾股定理可得

\overset{2}{\overline{A B}} = \overset{2}{\overline{B H}} + \overset{2}{\overline{A H}}

\overset{2}{\overline{A C}} = \overset{2}{\overline{A H}} + \overset{2}{\overline{H C}}

\overset{2}{\overline{A I}} = \overset{2}{\overline{I H}} + \overset{2}{\overline{A H}}

所以

\overset{2}{\overline{A B}} + \overset{2}{\overline{A C}} = \overset{2}{\overline{B H}} + 2 \overset{2}{\overline{A H}} + \overset{2}{\overline{H C}}

把 $B H$ 和 $H C$ 用 $B I$ 和 $I H$ 表達出來（記得 $I$ 是 $B C$ 的中點，因此 $B I = I C$ ）。注意到雖然現在的情形假設 $H$ 在線段 $B I$ 上，但其他情形也可以用這個方法。

\overline{B H} = \overline{B I} - \overline{I H}

\overline{H C} = \overline{I C} + \overline{I H} = \overline{B I} + \overline{I H}

代入前式：

\overset{2}{\overline{A B}} + \overset{2}{\overline{A C}} = (\overline{B I} - \overline{I H})^{2} + 2 \overset{2}{\overline{A H}} + (\overline{B I} + \overline{I H})^{2}

\overset{2}{\overline{A B}} + \overset{2}{\overline{A C}} = \overset{2}{\overline{B I}} - 2 \overline{B I} \cdot \overline{I H} + \overset{2}{\overline{I H}} + 2 \overset{2}{\overline{A H}} + \overset{2}{\overline{B I}} + 2 \overline{B I} \cdot \overline{I H} + \overset{2}{\overline{I H}}

\overset{2}{\overline{A B}} + \overset{2}{\overline{A C}} = 2 \overset{2}{\overline{B I}} + 2 \overset{2}{\overline{I H}} + 2 \overset{2}{\overline{A H}} = 2 \overset{2}{\overline{B I}} + 2 (\overset{2}{\overline{I H}} + \overset{2}{\overline{A H}})

$△ I H A$ 是直角三角形(H為 $△ A B C$ 於 $\overline{B C}$ 之垂足) ，因此

\overset{2}{\overline{I H}} + \overset{2}{\overline{A H}} = \overset{2}{\overline{A I}}

代入前式得出

\overset{2}{\overline{A B}} + \overset{2}{\overline{A C}} = 2 \overset{2}{\overline{B I}} + 2 \overset{2}{\overline{A I}}

中線的向量表達式

設 $I$ 是線段 $B C$ 的中點，則有 $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A I}$

用標積表示 $A B^{2} - A C^{2} = 2 \vec{B C} \cdot \vec{I H}$ ，其中 $H$ 是 $A$ 到線 $B C$ 的垂足。

從上得到中線的另一條定理 $| A B^{2} - A C^{2} | = 2 B C \times I H$ 。

實際上

A B^{2} - A C^{2} = (\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 2 \vec{A I} \cdot (\vec{A B} + \vec{C A}) = 2 \vec{A I} \cdot \vec{C B}

$\vec{A I}$ 投影在 $\vec{B C}$ 上是 $\vec{H I}$ ，因而有 $\vec{A I} \cdot \vec{C B} = \vec{H I} \cdot \vec{C B} = \vec{B C} \cdot \vec{I H}$ .

這兩個共線向量的標積可等於 $B C \times I H$ 或其負數，因此取絕對值。