角平分线长公式

三角形的内、外角平分线

在平面几何中，角平分線長公式是計算三角形內、外角平分線長度的公式。在三角形 $\mathrm{△}ABC$ 中，$\mathrm{\angle }A$ 的内角平分線交对边 $BC$ 于点 $D$ ，外角平分線交直线 $BC$ 于点 $E$ ，则三角形的内、外角平分線的长度为：

$AD=\sqrt{AB\cdot AC-DB\cdot DC}$

$AE=\sqrt{EB\cdot EC-AB\cdot AC}$

若记 $BC$ 边长为 $a$ ，$AC$ 边长为 $b$ ，$AB$ 边长为 $c$ ，记内角平分線 $AD$ 长为 $t_a$ ，外角平分線 $AE$ 长为 ${t_a}^{\prime }$ ，则三角形的内、外角平分線的长度可以表示为：

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$t_a=\sqrt{bc(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2})}$

$=\frac{bc}{b+c}\sqrt{2+2\cos A}$

$=\frac{2bc}{b+c}\cdot \cos \frac{A}{2}$

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${t_a}^{\prime }=\sqrt{bc(\frac{a^2}{(b-c{)}^2}-1)}$

$=\frac{bc}{|b-c|}\sqrt{2-2\cos A}$

$=\frac{2bc}{|b-c|}\cdot \sin \frac{A}{2}$

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证明

三角形ABC以及關於角A的平分線

内角平分线长

作 $\mathrm{\angle }A$ 的内角平分線交对边 $BC$ 于点 $D$ 。延长 $\overline{AD}$ 至点 $E$ ，使 $\mathrm{\angle }AEB=\mathrm{\angle }ACD$ 。

$\mathrm{△}AEB\sim \mathrm{△}ACD\Rightarrow AE\cdot AD=AB\cdot AC$

$\mathrm{△}DEB\sim \mathrm{△}DCA\Rightarrow DE\cdot AD=BD\cdot DC$

$A{D}^2=(AE-DE)\cdot AD=AE\cdot AD-DE\cdot AD=AB\cdot AC-DB\cdot DC$

得内角平分线长公式（i）：

$AD=\sqrt{AB\cdot AC-DB\cdot DC}$

外角平分线长

作 $\mathrm{\angle }A$ 的外角平分線交直线 $BC$ 于点 $D^{\prime }$ 。延长 $\overline{D^{\prime }A}$ 至点 $E^{\prime }$ ，使 $\mathrm{\angle }A{E}^{\prime }B=\mathrm{\angle }AC{D}^{\prime }$ 。

$\mathrm{△}A{E}^{\prime }B\sim \mathrm{△}AC{D}^{\prime }\Rightarrow A{E}^{\prime }\cdot A{D}^{\prime }=AB\cdot AC$

$\mathrm{△}{D}^{\prime }{E}^{\prime }B\sim \mathrm{△}{D}^{\prime }CA\Rightarrow D^{\prime }{E}^{\prime }\cdot A{D}^{\prime }=B{D}^{\prime }\cdot D^{\prime }C$

$AD{\text{'}}^2=(D^{\prime }{E}^{\prime }-A{E}^{\prime })\cdot A{D}^{\prime }=D^{\prime }{E}^{\prime }\cdot A{D}^{\prime }-A{E}^{\prime }\cdot A{D}^{\prime }=D^{\prime }B\cdot D^{\prime }C-AB\cdot AC$

得外角平分线长公式（i）：

$A{D}^{\prime }=\sqrt{D^{\prime }B\cdot D^{\prime }C-AB\cdot AC}$

推导

根据角平分线定理，有： Template:Col-begin |- |

$DB=\frac{ac}{b+c},DC=\frac{ab}{b+c}$

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$D^{\prime }B=\frac{ac}{|b-c|},D^{\prime }C=\frac{ab}{|b-c|}$

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代入式（i），得到角平分线长公式（ii）： Template:Col-begin |- |

$t_a=\sqrt{bc(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2})}$

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${t_a}^{\prime }=\sqrt{bc(\frac{a^2}{(b-c{)}^2}-1)}$

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将余弦公式代入式（ii），得到角平分线长公式（iii）： Template:Col-begin |- |

$t_a=\frac{bc}{b+c}\sqrt{2+2\cos A}$

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${t_a}^{\prime }=\frac{bc}{|b-c|}\sqrt{2-2\cos A}$

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将半角公式代入式（iii），得到角平分线长公式（iv）：

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$t_a=\frac{2bc}{b+c}\cdot \cos \frac{A}{2}$

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${t_a}^{\prime }=\frac{2bc}{|b-c|}\cdot \sin \frac{A}{2}$

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与其他定理的关系

斯图尔特定理

角平分线长公式是斯图尔特定理的特殊情况，或者说推论。根据斯图尔特定理，对于三角形 $\mathrm{△}ABC$ 的任意一边 $BC$ 上的任意一点 $D$ ，有：

$A{D}^2=A{B}^2\cdot \frac{DC}{BC}+A{C}^2\cdot \frac{DB}{BC}-DB\cdot DC$

当点 $D$ 是内角平分线足时，根据角平分线定理，有：

$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{DC}=\frac{AB+AC}{BC}$

联立之后，即可得到内角平分线长公式（i）或（ii）。同理，可以推出外角平分线长公式（i）或（ii）。

施泰纳-莱穆斯定理

利用角平分線長公式，可以证明施泰纳-莱穆斯定理——有两条内角平分线长度相等的三角形是等腰三角形。

$t_a=t_b\Rightarrow \sqrt{bc(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2})}=\sqrt{ac(1-\frac{b^2}{(a+c{)}^2})}$

化简后得到： $c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^2+ab)+3abc+c^3]=0$

连乘的其他各项都为正数，从而推出： $a-b=0$

名称

在欧美，角平分線長公式没有特殊的名称。在中国大陆，有文獻將内角平分線長公式（i）称为“斯库顿定理”，乃是以荷兰数学家Template:Le命名。而在欧美，Template:Le指的是等边三角形外接圆的一个性质，与三角形角平分线无关。

參見

• 中線長公式
• 角平分線定理