棱锥

Template:NoteTA Template:Infobox polyhedron 在幾何學中，棱锥又稱角錐，是三维多面体的一種，由多边形各个顶点向它所在的平面外一点依次连直线段而构成。多边形称为棱锥的底面。随着底面形状不同，棱锥的稱呼也不相同，依底面多边形而定，例如底面是正方形的棱锥称为方锥，底面为三角形的棱锥称为三棱锥，底面为五边形的棱锥称为五棱锥等等。

从棱锥的定义可以推知，一个以Template:Math边形为底面的棱锥，一共有Template:Math+1个顶点，Template:Math+1个面以及2Template:Math条边。棱锥的对偶多面体是同样形状的棱锥。例如一个方锥的对偶形是（倒立的）方锥。

棱锥的对称性取决于底面多边形的形状和多边形以外那个顶点的位置。如果底面的多边形是正多边形，而且另外一个顶点在底面上的投影是多边形的中心，那么棱锥和正多边形有相同的对称结构（同构的对称群）。

棱锥和棱柱、棱台、帐塔一样，都是擬柱體中的一类。

历史

在公元前1650年左右的莱因德数学纸草书中，棱锥已经作为数学对象被几何学家研究。纸草书的56至59题是有关正方锥的底边、高以及底面和侧面形成的二面角之间关系的计算，如已知高和底边长度，求二面角等Template:R。传说由欧几里德在公元前三世纪写成的《几何原本》中，第十二章第七个命题证明了：三角柱的体积等于同底同高的三角锥的三倍，但《几何原本》中没有给出直接的棱锥体积公式Template:R。公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题，计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鱉臑）的体积，并给出了通用公式。公元三世纪中叶，数学家刘徽在给《九章算术》作的注中，运用极限思想证明了棱锥的体积公式Template:R。

简介

棱锥的底面是多边形，其中的顶点和多边形所在平面外的一点用直线段相连。平面外的这一点称为棱锥的顶点，底面多边形的顶点称为底面顶点。除了底面，其余的面称为棱锥的侧面，都是由棱锥顶点和多边形的两个相邻顶点构成的三角形。连接底面顶点和棱锥顶点的直线段，也是两个相邻侧面的公共边，称为棱锥的侧棱。一个以Template:Math边形为底面的棱锥，总计有Template:Math个侧面，加上底面，一共有Template:Math+1个面；多边形的每个顶点对应一条侧棱，一共有Template:Math条侧棱。如果两条侧棱不在同一个侧面，那么它们确定的平面截棱锥所得的截面是一个过棱锥顶点的三角形，其中两条边分别是两条侧棱，另一条边在底面上，是底面多边形的一条对角线，这个平面称为棱锥的一个对角面。Template:R

如果底面是三角形，那么棱锥称为三棱锥或三角锥。如果每个面（包括底面）都是正三角形，这时的三棱锥就是正四面体。如果仅仅底面为正三角形，顶点在底面的投影是正三角形的中心，那么三个侧面都是全等的等腰三角形。这样的三棱锥叫做正三棱锥。同样地，底面为正多边形，而且另外一个顶点在底面上的投影是多边形的中心，这样的棱锥称为正棱锥。正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形，侧棱都等长。每个侧面三角形以多边形的边为底边的话，高称为棱锥的斜高。Template:R

如果平面外的顶点在底面的投影正好是多边形的某个顶点（等价于说平面外的顶点和某个顶点连成的直线垂直于底面），这样的棱锥称为直棱锥或直角棱锥。连接平面外顶点和其投影顶点的侧棱垂直于底面，所以包含这条侧棱的两个侧面也垂直于底面。

棱锥的底面多边形不一定是凸多边形。如果是星形，则称为星锥。例如，底面是五角星，则对应的棱锥叫做五星锥。

性质

体积

棱锥的体积取决于平面外顶点到底面的距离，以及底面多边形的面积。前者称为棱锥的高，後者称为棱锥的底面积。设 $h$ 為棱锥的高， $S$ 為棱锥的底面積， $V$ 為棱锥的體積，则棱锥的体积可以用以下公式计算Template:R：

V = \frac{S h}{3}

这个公式早在公元三世纪就得到了证明。现代的证明一般使用积分。假设有棱锥Template:Math，其中Template:Math为底面的Template:Math边形，Template:Math为棱锥顶点。设Template:Math在底面的投影为Template:Math点，Template:Math的长度为Template:Math。在线段Template:Math上取一点Template:Math，使得线段Template:Math的长度为Template:Math：0Template:Math，那么过点Template:Math而且与底面平行的平面截棱锥得到的形状是一个和底面的Template:Math边形相似的Template:Math边形，记作Template:Math，它的面积Template:Math与底面积Template:Math的比值等于Template:Math与Template:Math的比值的平方：

\frac{S_{y}}{S} = {(\frac{P X}{P Q})}^{2} = {(\frac{y}{h})}^{2} .

在点Template:Math附近截取的“一片”棱锥“切片”，它的体积大约等于： $d V_{y} \approx {(\frac{y}{h})}^{2} S d y$

所以棱锥的体积等于积分： $V = \int_{y = 0}^{h} d V_{y} = \int_{y = 0}^{h} {(\frac{y}{h})}^{2} S d y = \frac{h^{3}}{3} \cdot \frac{S}{h^{2}} = \frac{1}{3} S h .$

对于正棱锥，假设它的底面是正Template:Math边形，边长为Template:Math，高是Template:Math，那么底面积是： $S = \frac{n a^{2}}{4} \cot \frac{π}{n} .$ 所以它的体积是：

V = \frac{n a^{2} h}{12} \cot \frac{π}{n} .

表面积

棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积Template:Math

S_{c} = \sum_{i = 1}^{n} S_{i}

，其中

S_{i}, i = 1, 2 \dots, n

是第 i 个侧面的面积。

棱锥的表面积等于棱锥的侧面积Template:Math加上底面积Template:Math。假设顶点的投影Template:Math点到第 i 个侧面对应的底边的距离是Template:Math，底边的长度是Template:Math，那么棱锥的侧面积：

S_{c} = \sum_{i = 1}^{n} S_{i} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \sqrt{h^{2} + d_{i}^{2}} .

对于正Template:Math棱锥，顶点到底面的投影是底面正Template:Math边形的中心。所以投影点到每一边的距离都相等： $d_{1} = d_{2} = \dots = d_{n} = d .$ 因此棱锥的斜高也就是侧面三角形的高： $l = \sqrt{h^{2} + d^{2}} .$ 棱锥的侧面积Template:R：

S_{c} = \sum_{i = 1}^{n} S_{i} = \frac{1}{2} l \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = \frac{1}{2} l p .

其中Template:Math是底面正Template:Math边形的周长。假设底面正Template:Math边形的边长是Template:Math，高是Template:Math，那么它的周长是Template:Math，中心到每一边的距离是 $\frac{a}{2} \cot \frac{π}{n}$ 。所以斜高是： $\sqrt{h^{2} + \frac{a^{2}}{4} \cot^{2} \frac{π}{n}}$ ，侧面积是：

S_{c} = \sum_{i = 1}^{n} S_{i} = \frac{1}{2} n a \sqrt{h^{2} + \frac{a^{2}}{4} \cot^{2} \frac{π}{n}} .

正棱锥

若一錐體底面為正多邊形則稱為正棱锥。正棱锥是一個無窮集合，最小從三角錐開始，因為二角錐已退化成平面了。 Template:棱锥列表此外錐體亦可以做為球面鑲嵌：

錐體形式鑲嵌系列：
球面鑲嵌		錐體									歐式鑲嵌仿緊空間	雙曲鑲嵌非緊空間
Template:AnyLink C_1v, [1]	Template:AnyLink C_2v, [2]	三角錐 C_3v, [3]	四角錐 C_4v, [4]	五角錐 C_5v, [5]	六角錐 C_6v, [6]	七角錐 C_7v, [7]	八角錐 C_8v, [8]	九角錐 C_9v, [9]	十角錐 C_10v, [10]	...	無限角錐 C_∞v, [∞]	超無限角錐 C_iπ/λv, [iπ/λ]