馬爾可夫方程

不定方程$x_1^2+x_2^2+x_3^2=3x_1{x}_2{x}_3$稱為馬爾可夫方程（Template:Lang-en或Markoff equation）。

求解方法如下：

• 先憑觀察找出$(x_1,x_2,x_3)=(1,1,1)$這組解。
• 方程可視為一個$x_3$為未知數的一元二次方程。根據韋達定理，可知$(x_1,x_2,3x_1{x}_2-x_3)$　（留意$3x_1{x}_2-x_3=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}$）也是一個解。

這個方程有無限個解。

事實上，用這個方法由(1,1,1)開始，可以找出這方程的所有正整數數組解。

在此不定方程的解出現的正整數稱為馬爾可夫數（Template:Lang-en），它們由小到大是：

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （OEIS:A002559）

它們組成的解是：

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ...

馬爾可夫數的特性

馬爾可夫方程的解

馬爾可夫數可以排成一棵二元樹（如圖）。

在二元樹上，和 1 的範圍相鄰的數（即二元樹的上方，2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契數。

和 2 的範圍鄰接的數（即二元樹的下方，1, 5, 29, 169, ...）也有相似的特質：它們都是相隔的佩爾數。

猜想

每個數只在樹上出現一次（即沒有正整數$z$使得$(a,b,z),(c,d,z)$都是方程的解，其中$a,b,c,d$是兩兩相異的正整數，且$a>b>z,c>d>z$）。

赫爾維茨方程

馬爾可夫-赫維茲方程（Template:Lang-en），是指形式如$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=a{x}_1{x}_2...x_n$的不定方程，其中$a,n$是正整數。

阿道夫·赫維茲證明了：方程有$(0,...,0)$之外的解的必要條件之一是$a\le n$。