无穷递降法

Template:Unreferenced 无穷递降法，又名無窮遞減法（Template:Lang-en），是数学中证明方程无解的一种方法。

步骤

• 假设方程有解，并设X为最小的解。
• 从X推出一个更小的解Y。
• 从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。

一些實用的例子

a²+b²=3(s²+t²)無非平方解

证明下列方程无正整数解:

$a^2+b^2=3\cdot (s^2+t^2),$

证明:

假设该方程有正整数解。

设$a_1,b_1,s_1,t_1$为最小的解。即

$a_1^2+b_1^2=3\cdot (s_1^2+t_1^2)$

显然，$a_1$和$b_1$都必须能被3整除。设

$3a_2=a_1$及$3b_2=b_1.$

我们得到

$(3a_2{)}^2+(3b_2{)}^2=3\cdot (s_1^2+t_1^2)$

$3(a_2^2+b_2^2)=s_1^2+t_1^2.$

这是更小的解，与$a_1,b_1,s_1,t_1$的最小性相矛盾。所以，原方程无正整数解。

$\sqrt{2}$的無理性

Template:Main 假設$\sqrt{2}$是有理數，即$p^2=2q^2$有正整數解。
令$(p,q)$是此方程的最小解
易知$p$是偶數，從得$q$是偶數
⇒$(p/2,q/2)<(p,q)$
和$(p,q)$是此方程的最小解矛盾，故無正整數解
⇒從得$\sqrt{2}$是無理數

參見

• 韦达跳跃
• 反證法