反三角函数

Template:NoteTA Template:函數圖形 Template:三角学在数学中，反三角函数（Template:Lang-en）是三角函数的反函数。

數學符號

符号 $\sin^{- 1}, \cos^{- 1}$ 等常用于 $\arcsin, \arccos$ 等。但是这种符号有时在 $\sin^{- 1} x$ 和 $\frac{1}{\sin x}$ 之间易造成混淆。

在编程中，函数 $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ 通常叫做 $a s i n$ , $a c o s$ , $a t a n$ 。很多编程语言提供两自变量atan2函数，它计算给定 $y$ 和 $x$ 的 $\frac{y}{x}$ 的反正切，但是值域为 $[- π, π]$ 。

在笛卡尔平面上 $f (x) = \arcsin x$ (紅)和 $f (x) = \arccos x$ (綠)函数的常用主值的图像。
在笛卡尔平面上 $f (x) = \arctan x$ (紅)和 $f (x) = arccot x$ (綠)函数的常用主值的图像。
在笛卡尔平面上 $f (x) = arccsc x$ (紅)和 $f (x) = arcsec x$ (綠)函数的常用主值的图像。

主值

下表列出基本的反三角函数。

名称	常用符号	定义	定义域	值域
反正弦	$y = \arcsin x$	$x = \sin y$	$[- 1, 1]$	$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
反余弦	$y = \arccos x$	$x = \cos y$	$[- 1, 1]$	$[0, π]$
反正切	$y = \arctan x$	$x = \tan y$	$ℝ$	$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$
反余切	$y = arccot x$	$x = \cot y$	$ℝ$	$(0, π)$
反正割	$y = arcsec x$	$x = \sec y$	$(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$	$[0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π]$
反余割	$y = arccsc x$	$x = \csc y$	$(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$	$[- \frac{π}{2}, 0) \cup (0, \frac{π}{2}]$

（注意：某些數學教科書的作者將 $arcsec$ 的值域定為 $[0, \frac{π}{2}) \cup [π, \frac{3 π}{2})$ 因為當 $\tan$ 的定義域落在此區間時， $\tan$ 的值域 $\geq 0$ ，如果 $arcsec$ 的值域仍定為 $[0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π]$ ，將會造成 $\tan (arcsec x) = \pm \sqrt{x^{2} - 1}$ ，如果希望 $\tan (arcsec x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ ，那就必須將 $arcsec$ 的值域定為 $[0, \frac{π}{2}) \cup [π, \frac{3 π}{2})$ ，基於類似的理由 $arccsc$ 的值域定為 $(- π, - \frac{π}{2}] \cup (0, \frac{π}{2}]$ ）

如果 $x$ 允许是复数，则 $y$ 的值域只适用它的实部。

反三角函数之间的关系

余角：

\arccos x = \frac{π}{2} - \arcsin x

arccot x = \frac{π}{2} - \arctan x

arccsc x = \frac{π}{2} - arcsec x

负数参数：

\arcsin (- x) = - \arcsin x

\arccos (- x) = π - \arccos x

\arctan (- x) = - \arctan x

arccot (- x) = π - arccot x

arcsec (- x) = π - arcsec x

arccsc (- x) = - arccsc x

倒数参数：

\arccos \frac{1}{x} = arcsec x

\arcsin \frac{1}{x} = arccsc x

\arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2} - \arctan x = arccot x,

x > 0

\arctan \frac{1}{x} = - \frac{π}{2} - \arctan x = - π + arccot x,

x < 0

arccot \frac{1}{x} = \frac{π}{2} - arccot x = \arctan x,

x > 0

arccot \frac{1}{x} = \frac{3 π}{2} - arccot x = π + \arctan x,

x < 0

arcsec \frac{1}{x} = \arccos x

arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x

如果有一段正弦表：

\arccos x = \arcsin \sqrt{1 - x^{2}},

0 \leq x \leq 1

\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

注意只要在使用了复数的平方根的时候，我们选择正实部的平方根(或者正虚部，如果是负实数的平方根的话)。

从半角公式 $\tan \frac{θ}{2} = \frac{\sin θ}{1 + \cos θ}$ ，可得到：

\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}

\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{1 + x},

- 1 < x \leq + 1

\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1 + \sqrt{1 + x^{2}}}

三角函數與反三角函數的關係

通過定義可知：

$θ$	$\sin θ$	$\cos θ$	$\tan θ$
$\arcsin x$	$\sin (\arcsin x) = x$	$\cos (\arcsin x) = \sqrt{1 - x^{2}}$	$\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\arccos x$	$\sin (\arccos x) = \sqrt{1 - x^{2}}$	$\cos (\arccos x) = x$	$\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$
$\arctan x$	$\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$\tan (\arctan x) = x$
$arccot x$	$\sin (arccot x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$\cos (arccot x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$\tan (arccot x) = \frac{1}{x}$
$arcsec x$	$\sin (arcsec x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$	$\cos (arcsec x) = \frac{1}{x}$	$\tan (arcsec x) = \sqrt{x^{2} - 1}$
$arccsc x$	$\sin (arccsc x) = \frac{1}{x}$	$\cos (arccsc x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$	$\tan (arccsc x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

一般解

每个三角函数都周期于它的参数的实部上，在每个 $2 π$ 区间内通过它的所有值两次。正弦和余割的周期开始于 $2 π k - \frac{π}{2}$ 结束于 $2 π k + \frac{π}{2}$ （这里的 $k$ 是一个整数），在 $2 π k + \frac{π}{2}$ 到 $2 π k + \frac{3 π}{2}$ 上倒过来。余弦和正割的周期开始于 $2 π k$ 结束于 $2 π k + π$ ，在 $2 π k + π$ 到 $2 π k + 2 π$ 上倒过来。正切的周期开始于 $2 π k - \frac{π}{2}$ 结束于 $2 π k + \frac{π}{2}$ ，接着(向前)在 $2 π k + \frac{π}{2}$ 到 $2 π k + \frac{3 π}{2}$ 上重复。余切的周期开始于 $2 π k$ 结束于 $2 π k + π$ ，接着（向前）在 $2 π k + π$ 到 $2 π k + 2 π$ 上重复。

这个周期性反应在一般反函数上：

\sin y = x \Leftrightarrow (y = \arcsin x + 2 k π \forall k \in ℤ \lor y = π - \arcsin x + 2 k π \forall k \in ℤ)

\cos y = x \Leftrightarrow (y = \arccos x + 2 k π \forall k \in ℤ \lor y = 2 π - \arccos x + 2 k π \forall k \in ℤ)

\tan y = x \Leftrightarrow y = \arctan x + k π \forall k \in ℤ

\cot y = x \Leftrightarrow y = arccot x + k π \forall k \in ℤ

\sec y = x \Leftrightarrow (y = arcsec x + 2 k π \forall k \in ℤ \lor y = 2 π - arcsec x + 2 k π \forall k \in ℤ)

\csc y = x \Leftrightarrow (y = arccsc x + 2 k π \forall k \in ℤ \lor y = π - arccsc x + 2 k π \forall k \in ℤ)

反三角函数的导数

对于实数 $x$ 的反三角函數的导函数如下：

\begin{matrix} \frac{d}{d x} \arcsin x & = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}; | x | < 1 \\ \frac{d}{d x} \arccos x & = \frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}; | x | < 1 \\ \frac{d}{d x} \arctan x & = \frac{1}{1 + x^{2}} \\ \frac{d}{d x} arccot x & = \frac{- 1}{1 + x^{2}} \\ \frac{d}{d x} arcsec x & = \frac{1}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}; | x | > 1 \\ \frac{d}{d x} arccsc x & = \frac{- 1}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}; | x | > 1 \end{matrix}

舉例說明，设 $θ = \arcsin x$ ，得到：

\frac{d \arcsin x}{d x} = \frac{d θ}{d \sin θ} = \frac{1}{\cos θ} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} θ}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $| x | < 1$ ，其他導數公式同理可證^[1]。

表达为定积分

积分其导数并固定在一点上的值给出反三角函数作为定积分的表达式：

\begin{matrix} \arcsin x & = \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1 - z^{2}}} d z, | x | \leq 1 \\ \arccos x & = \int_{x}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - z^{2}}} d z, | x | \leq 1 \\ \arctan x & = \int_{0}^{x} \frac{1}{z^{2} + 1} d z, \\ arccot x & = \int_{x}^{\infty} \frac{1}{z^{2} + 1} d z, \\ arcsec x & = \int_{1}^{x} \frac{1}{z \sqrt{z^{2} - 1}} d z, x \geq 1 \\ arccsc x & = \int_{x}^{\infty} \frac{1}{z \sqrt{z^{2} - 1}} d z, x \geq 1 \end{matrix}

当 $x$ 等于1时，在有极限的域上的积分是瑕积分，但仍是良好定义的。

无穷级数

如同正弦和余弦函数，反三角函数可以使用无穷级数计算如下：

\begin{matrix} \arcsin z & = z + (\frac{1}{2}) \frac{z^{3}}{3} + (\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}) \frac{z^{5}}{5} + (\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}) \frac{z^{7}}{7} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} [\frac{(2 n)!}{2^{2 n} (n!)^{2}}] \frac{z^{2 n + 1}}{(2 n + 1)}; | z | \leq 1 \end{matrix}

\begin{matrix} \arccos z & = \frac{π}{2} - \arcsin z \\ = \frac{π}{2} - [z + (\frac{1}{2}) \frac{z^{3}}{3} + (\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}) \frac{z^{5}}{5} + (\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}) \frac{z^{7}}{7} + \dots] \\ = \frac{π}{2} - \sum_{n = 0}^{\infty} [\frac{(2 n)!}{2^{2 n} (n!)^{2}}] \frac{z^{2 n + 1}}{(2 n + 1)}; | z | \leq 1 \end{matrix}

\begin{matrix} \arctan z & = z - \frac{z^{3}}{3} + \frac{z^{5}}{5} - \frac{z^{7}}{7} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n + 1}}{2 n + 1}; | z | \leq 1 z \neq i, - i \end{matrix}

\begin{matrix} arccot z & = \frac{π}{2} - \arctan z \\ = \frac{π}{2} - (z - \frac{z^{3}}{3} + \frac{z^{5}}{5} - \frac{z^{7}}{7} + \dots) \\ = \frac{π}{2} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n + 1}}{2 n + 1}; | z | \leq 1 z \neq i, - i \end{matrix}

\begin{matrix} arcsec z & = \arccos (z^{- 1}) \\ = \frac{π}{2} - [z^{- 1} + (\frac{1}{2}) \frac{z^{- 3}}{3} + (\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}) \frac{z^{- 5}}{5} + (\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}) \frac{z^{- 7}}{7} + \dots] \\ = \frac{π}{2} - \sum_{n = 0}^{\infty} [\frac{(2 n)!}{2^{2 n} (n!)^{2}}] \frac{z^{- (2 n + 1)}}{(2 n + 1)}; | z | \geq - 4 \end{matrix}

\begin{matrix} arccsc z & = \arcsin (z^{- 1}) \\ = z^{- 1} + (\frac{1}{2}) \frac{z^{- 3}}{3} + (\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}) \frac{z^{- 5}}{5} + (\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}) \frac{z^{- 7}}{7} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} [\frac{(2 n)!}{2^{2 n} (n!)^{2}}] \frac{z^{- (2 n + 1)}}{2 n + 1}; | z | \geq 1 \end{matrix}

欧拉发现了反正切的更有效的级数：

\arctan x = \infty x 1 + x^{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \prod_{k = 1}^{n} \frac{2 k x^{2}}{(2 k + 1) (1 + x^{2})}

。

（注意对 $x = 0$ 在和中的项是空积1。）

反三角函数的不定积分

\begin{matrix} \int \arcsin x d x & = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}} + C, x \leq 1 \\ \int \arccos x d x & = x \arccos x - \sqrt{1 - x^{2}} + C, x \leq 1 \\ \int \arctan x d x & = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C \\ \int arccot x d x & = x arccot x + \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C \\ \int arcsec x d x & = x arcsec x - sgn (x) \ln | x + \sqrt{x^{2} - 1} | + C = x arcsec x + sgn (x) \ln | x - \sqrt{x^{2} - 1} | + C \\ \int arccsc x d x & = x arccsc x + sgn (x) \ln | x + \sqrt{x^{2} - 1} | + C = x arccsc x - sgn (x) \ln | x - \sqrt{x^{2} - 1} | + C \end{matrix}

使用分部积分法和上面的简单导数很容易得出它们。

舉例

使用 $\int u d v = u v - \int v d u$ ，設

\begin{matrix} u & = & \arcsin x & d v = d x \\ d u & = & \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} & v = x \end{matrix}

則

\int \arcsin (x) d x = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

換元

k = 1 - x^{2} .

則

d k = - 2 x d x

且

\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = - \frac{1}{2} \int \frac{d k}{\sqrt{k}} = - \sqrt{k}

換元回x得到

\int \arcsin (x) d x = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}} + C

加法公式和減法公式

Template:Math

\arcsin x + \arcsin y = \arcsin (x \sqrt{1 - y^{2}} + y \sqrt{1 - x^{2}}), x y \leq 0 \lor x^{2} + y^{2} \leq 1

\arcsin x + \arcsin y = π - \arcsin (x \sqrt{1 - y^{2}} + y \sqrt{1 - x^{2}}), x > 0, y > 0, x^{2} + y^{2} > 1

\arcsin x + \arcsin y = - π - \arcsin (x \sqrt{1 - y^{2}} + y \sqrt{1 - x^{2}}), x < 0, y < 0, x^{2} + y^{2} > 1

Template:Math

\arcsin x - \arcsin y = \arcsin (x \sqrt{1 - y^{2}} - y \sqrt{1 - x^{2}}), x y \geq 0 \lor x^{2} + y^{2} \leq 1

\arcsin x - \arcsin y = π - \arcsin (x \sqrt{1 - y^{2}} - y \sqrt{1 - x^{2}}), x > 0, y < 0, x^{2} + y^{2} > 1

\arcsin x - \arcsin y = - π - \arcsin (x \sqrt{1 - y^{2}} + y \sqrt{1 - x^{2}}), x < 0, y > 0, x^{2} + y^{2} > 1

Template:Math

\arccos x + \arccos y = \arccos (x y - \sqrt{1 - x^{2}} \cdot \sqrt{1 - y^{2}}), x + y \geq 0

\arccos x + \arccos y = 2 π - \arccos (x y - \sqrt{1 - x^{2}} \cdot \sqrt{1 - y^{2}}), x + y < 0

Template:Math

\arccos x - \arccos y = - \arccos (x y + \sqrt{1 - x^{2}} \cdot \sqrt{1 - y^{2}}), x \geq y

\arccos x - \arccos y = \arccos (x y + \sqrt{1 - x^{2}} \cdot \sqrt{1 - y^{2}}), x < y

Template:Math

\arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x + y}{1 - x y}, x y < 1

\arctan x + \arctan y = π + \arctan \frac{x + y}{1 - x y}, x > 0, x y > 1

\arctan x + \arctan y = - π + \arctan \frac{x + y}{1 - x y}, x < 0, x y > 1

Template:Math

\arctan x - \arctan y = \arctan \frac{x - y}{1 + x y}, x y > - 1

\arctan x - \arctan y = π + \arctan \frac{x - y}{1 + x y}, x > 0, x y < - 1

\arctan x - \arctan y = - π + \arctan \frac{x - y}{1 + x y}, x < 0, x y < - 1

Template:Math

arccot x + arccot y = arccot \frac{x y - 1}{x + y}, x > - y

arccot x + arccot y = arccot \frac{x y - 1}{x + y} + π, x < - y

Template:Math

\arcsin x + \arccos x = \frac{π}{2}, | x | \leq 1

Template:Math

\arctan x + arccot x = \frac{π}{2}

註釋

Template:Reflist

参见

Template:Portal

Template:- Template:三角函數

外部链接

↑ 设 $θ = \arccos x$ ，得到：
$\frac{d \arccos x}{d x} = \frac{d θ}{d \cos θ} = \frac{- 1}{\sin θ} = \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} θ}} = \frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $| x | < 1$ 。
设 $θ = \arctan x$ ，得到：
$\frac{d \arctan x}{d x} = \frac{d θ}{d \tan θ} = \frac{1}{\sec^{2} θ} = \frac{1}{1 + \tan^{2} θ} = \frac{1}{1 + x^{2}}$
设 $θ = arccot x$ ，得到：
$\frac{d arccot x}{d x} = \frac{d θ}{d \cot θ} = \frac{- 1}{\csc^{2} θ} = \frac{1}{1 + \cot^{2} θ} = \frac{- 1}{1 + x^{2}}$
设 $θ = arcsec x$ ，得到：
$\frac{d arcsec x}{d x} = \frac{d θ}{d \sec θ} = \frac{1}{\sec θ \tan θ} = \frac{1}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}$
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $| x | > 1$ ，比較容易被忽略是 $\sec θ$ 產生的絕對值 $\sec^{- 1} θ$ 的定義域是 $0 \leq θ \leq π, θ \neq \frac{π}{2}$ ，所以 $\tan θ = \pm \sqrt{x^{2} - 1}$ ，所以 $x$ 要加绝对值。
设 $θ = arccsc x$ ，得到：
$\frac{d arccsc x}{d x} = \frac{d θ}{d \csc θ} = \frac{- 1}{\csc θ \cot θ} = \frac{- 1}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}$
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $| x | > 1$ ，比較容易被忽略是 $\csc θ$ 產生的絕對值 $\csc^{- 1} θ$ 的定義域是 $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}, θ \neq 0$ 。

[1] 设 $θ = \arccos x$ ，得到：
$\frac{d \arccos x}{d x} = \frac{d θ}{d \cos θ} = \frac{- 1}{\sin θ} = \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} θ}} = \frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $| x | < 1$ 。
设 $θ = \arctan x$ ，得到：
$\frac{d \arctan x}{d x} = \frac{d θ}{d \tan θ} = \frac{1}{\sec^{2} θ} = \frac{1}{1 + \tan^{2} θ} = \frac{1}{1 + x^{2}}$
设 $θ = arccot x$ ，得到：
$\frac{d arccot x}{d x} = \frac{d θ}{d \cot θ} = \frac{- 1}{\csc^{2} θ} = \frac{1}{1 + \cot^{2} θ} = \frac{- 1}{1 + x^{2}}$
设 $θ = arcsec x$ ，得到：
$\frac{d arcsec x}{d x} = \frac{d θ}{d \sec θ} = \frac{1}{\sec θ \tan θ} = \frac{1}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}$
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $| x | > 1$ ，比較容易被忽略是 $\sec θ$ 產生的絕對值 $\sec^{- 1} θ$ 的定義域是 $0 \leq θ \leq π, θ \neq \frac{π}{2}$ ，所以 $\tan θ = \pm \sqrt{x^{2} - 1}$ ，所以 $x$ 要加绝对值。
设 $θ = arccsc x$ ，得到：
$\frac{d arccsc x}{d x} = \frac{d θ}{d \csc θ} = \frac{- 1}{\csc θ \cot θ} = \frac{- 1}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}$
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $| x | > 1$ ，比較容易被忽略是 $\csc θ$ 產生的絕對值 $\csc^{- 1} θ$ 的定義域是 $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}, θ \neq 0$ 。

[1]

反三角函数

目录

數學符號

主值

反三角函数之间的关系

三角函數與反三角函數的關係

一般解

反三角函数的导数

表达为定积分

无穷级数

反三角函数的不定积分

舉例

加法公式和減法公式

Template:Math

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註釋

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