正切半角公式

正切半角公式又称万能公式，这一组公式有四个功能：

1. 将角统一为$\frac{\alpha }{2}$；
2. 将函数名称统一为$\tan$；
3. 任意实数都可以$\tan \frac{\alpha }{2}$的形式表達，可用正切函数换元。
4. 在某些积分中，可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。

因此，这组公式被称为以切表弦公式，简称以切表弦。它们是由二倍角公式求得的。

$\sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

$\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

$\tan \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

$\cot \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{2\tan \frac{\alpha }{2}}$

$\sec \alpha =\frac{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

$\csc \alpha =\frac{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{2\tan \frac{\alpha }{2}}$

而被称为萬能公式的原因是利用$\tan \frac{\alpha }{2}$的代換可以解決一些有關三角函数的積分。参见三角换元法。

$\begin{array}{cc}\tan (\frac{\eta }{2}\pm \frac{\theta }{2})& =\frac{\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }=-\frac{\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta },\\ \tan (\pm \frac{\theta }{2})& =\frac{\pm \sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{\pm \tan \theta }{\sec \theta +1}=\frac{\pm 1}{\csc \theta +\cot \theta },(\eta =0)\\ \tan (\pm \frac{\theta }{2})& =\frac{1-\cos \theta }{\pm \sin \theta }=\frac{\sec \theta -1}{\pm \tan \theta }=\pm (\csc \theta -\cot \theta ),(\eta =0)\\ \tan (\frac{\pi }{4}\pm \frac{\theta }{2})& =\frac{1\pm \sin \theta }{\cos \theta }=\sec \theta \pm \tan \theta =\frac{\csc \theta \pm 1}{\cot \theta },(\eta =\frac{\pi }{2})\\ \tan (\frac{\pi }{4}\pm \frac{\theta }{2})& =\frac{\cos \theta }{1\mp \sin \theta }=\frac{1}{\sec \theta \mp \tan \theta }=\frac{\cot \theta }{\csc \theta \mp 1},(\eta =\frac{\pi }{2})\\ \frac{1-\tan \frac{\theta }{2}}{1+\tan \frac{\theta }{2}}& =\sqrt{\frac{1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}.\end{array}$

万能公式的证明

由二倍角公式，有：

$\sin \alpha =2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}÷{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{({\cos }^2\frac{\alpha }{2}+{\sin }^2\frac{\alpha }{2})÷{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{2\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}}{1+\frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}}=\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

$\tan \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

再由同角三角函数间的关系，得出

$\cos \alpha =\frac{\sin \alpha }{\tan \alpha }=\frac{\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}}{\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}}=\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

几何证明

正切半角公式的几何证明

在单位圆内，$t=\tan \frac{\varphi }{2}$。根据相似关係，$\frac{t}{\sin \varphi }=\frac{1}{1+\cos \varphi }$，可得出

$t=\frac{\sin \varphi }{1+\cos \varphi }=\frac{\sin \varphi (1-\cos \varphi )}{(1+\cos \varphi )(1-\cos \varphi )}=\frac{1-\cos \varphi }{\sin \varphi }$

。

显然$\tan \frac{a+b}{2}=\frac{\sin \frac{a+b}{2}}{\cos \frac{a+b}{2}}=\frac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}$。

双曲函数

此公式亦可以对双曲函数起到类似的作用，由双曲线右支上的一点$(\cosh \theta ,\sinh \theta )$给出。从$(-1,0)$到y轴给出了如下等式：

$t=\tanh \frac{1}{2}\theta =\frac{\sinh \theta }{\cosh \theta +1}=\frac{\cosh \theta -1}{\sinh \theta }$

可以得到

$\cosh \theta =\frac{1+t^2}{1-t^2},$		$\sinh \theta =\frac{2t}{1-t^2},$
$\tanh \theta =\frac{2t}{1+t^2},$		$\coth \theta =\frac{1+t^2}{2t},$
$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\theta =\frac{1-t^2}{1+t^2},$		$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\theta =\frac{1-t^2}{2t},$

和

$e^{\theta }=\frac{1+t}{1-t},$

$e^{-\theta }=\frac{1-t}{1+t}.$

卡尔·维尔斯特拉斯引入这个式子来省去查找原函数的麻烦。

$\theta$在$T$而得出下面的双曲反正切函數和自然对数之间的关系：

$\mathrm{artanh}t=\frac{1}{2}\ln \frac{1+t}{1-t}.$

參見

• 三角恒等式

外部連結

• Planetmath上的正切半角公式 Template:Wayback