伽玛分布

Template:機率分佈 伽玛分布（Template:Lang-en）是統計學的一種連續機率分布。伽玛分佈中的母數α，稱為形狀参数，β稱為尺度参数。

實驗定義與觀念

假设X₁, X₂, ... X_n 为连续发生事件的等候时间，且这n次等候时间为独立的，那么这n次等候时间之和Y (Y=X₁+X₂+...+X_n)服从伽玛分布，即 Y~Gamma(α , β)，亦可記作Y~Gamma(α , λ)，其中α = n，而 β 與λ互為倒數關係，λ 表單位時間內事件的發生率。

指数分布為α = 1的伽瑪分布。

記號

有兩種表記方法：

$X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )$或$X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\lambda )$

兩者所表達意義相同，只要將以下式子做$\lambda =\frac{1}{\beta }$的替換即可，即，其機率密度函數為：

$f\left(x\right)=\frac{x^{(\alpha -1)}{\lambda }^{\alpha }{e}^{(-\lambda x)}}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}=\frac{x^{(\alpha -1)}{e}^{(-\frac{1}{\beta }x)}}{{\beta }^{\alpha }\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}$，x > 0

其中Gamma函数之特徵為：

$\{\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(\alpha )=(\alpha -1)!& \text{if }\alpha \text{ is }{\mathbb{Z}}^{+}\\ \mathrm{\Gamma }(\alpha )=(\alpha -1)\mathrm{\Gamma }(\alpha -1)& \text{if }\alpha \text{ is }{ℝ}^{+}\\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }\end{array}$

特性

母函數、期望值、變異數

• Gamma分配的矩母函数（m.g.f）

$M_x\left(t\right)=E\left(e^{xt}\right)=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{xt}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}dx={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^{\alpha }={(1-\beta t)}^{-\alpha }$

• 概率母函数（p.g.f）

$K_x\left(t\right)=\ln M_x\left(t\right)=\alpha [\ln \lambda -\ln (\lambda -t)]$

• 期望值

$\frac{d{K}_x\left(t\right)}{dt}=\frac{\alpha }{\lambda -t},when(t=0),E\left(X\right)=\frac{\alpha }{\lambda }=\alpha \beta$

• 方差

$\frac{d^2{K}_x\left(t\right)}{d{t}^2}=\frac{\alpha }{{(\lambda -t)}^2},when(t=0),{\sigma }^2\left(X\right)=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}=\alpha {\beta }^2$

Gamma的可加性

當兩隨機變數服從Gamma分布，且相互獨立，且母數（$\lambda$或$\beta$）相同時，Gamma分布具有可加性。

$\coprod \{\begin{array}{c}r.v.X\sim \mathrm{\Gamma }({\alpha }_1,\lambda )\\ r.v.Y\sim \mathrm{\Gamma }({\alpha }_2,\lambda )\end{array}⟹X+Y\sim \mathrm{\Gamma }({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$

外部連結

• LDA-math-神奇的Gamma函数Template:Wayback
• 分布计算器Template:Wayback（英文）