偽度量

對於集合$X$中任意元素$x,y$，若實值函數$d:(X,X)\to R$符合以下三個條件，稱它為一個偽度量（pseudometric）。

• $d(x,x)=0$
• $d(x,y)=d(y,x)$
• $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

它和一般距離（度量）的定義的分別只在於偽度量容許對於相異的元素$x,y$，$d(x,y)=0$。

例子

• $X$為向量空間，$p$是半範數，$d(x,y)=p(x-y)$是$X$的偽度量
• 有集$X,Y$，其中$Y$上有一距離$d(Y)$，設$F(X)$為所有$X\to Y$的函數之集，取$x_0\in X$，則$d(f,g)=d_Y(f(x_0)-g(x_0))$是一個$F(X)$的偽度量。

拓撲空間

• 對於集$X$有偽度量d，則所有開球$S_r=\{x\in X|d(p,x)<r\}$的族可以作為$X$內一個拓撲空間的基。該拓撲空間是
• T₄。
• 第一可數空間。

若它是T₀，它是可距空間。

参考文献

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