無效證明

在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已，但可以被用来顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形。此一錯誤為採一非單射的函數$f$，以觀察對某些$x$和$y$，會有$f(x)=f(y)$，來（錯誤地）做出$x=y$的結論。零除數是此類錯誤的一特例；$f$為將$x$映射至$x\times 0$的函數，而其錯誤的一步是起於將$x\times 0=y\times 0$的等式做成$x=y$的結論。相似地，下面證明了$5=4$的句子也是以函數$f(x)=x^2$的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個$x$和$y$會使得$x^2=y^2$的一正確申論，然後做出了$x=y$的一錯誤結論。

算术例子

證明1是最大的正整數

• 假設最大的正整數不是$1$，而是$a$，有$a>1$；

• $a>1>0$，$a$為正的，所以由$a>1$得到$a\times a>a$；

• 但是$a\times a$還是正整數，可是沒有任何正整數比$a$大，矛盾；

• 所以最大的正整數是1。

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為最大的正整數不存在，因此不能如此假設。

證明-1等於1

• 由一等式開始

  $-1=-1$

• 將兩邊轉成假分數

  $\frac{-1}{1}=\frac{1}{-1}$

• 將兩邊開方

  $\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}$

• 其會等於

  $\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}$

• 兩邊同乘$\sqrt{-1}$以來消去分數

  $\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{1}\sqrt{1}$

• 但任一數的開方之平方會給出原本的數來，故

  $-1=1$

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為負數的開方不是实数，$\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}$推出$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}$是错误的（事實上，$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=-i$，$\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}=i$）。

證明1等於2

1.令$a=b$，且$a\ne 0$

2.將兩邊乘以a

$a^2=ab$

3.將兩邊減掉$b^2$

$a^2-b^2=ab-b^2$

4.將兩邊因式分解

$(a+b)(a-b)=b(a-b)$

5.將兩邊除以$a-b$

$a+b=b$

6.因為$a=b$因此

$b+b=b$

7.簡化

$2b=b$

8.將兩邊除以b

$2=1$

Q.E.D.

這個證明的錯誤點在於第五步，$$正因為a=b所以a-b等於零，而除以零是無效的。

證明4等於5

• 由一等式開始

  $-20=-20$

• 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示

  $25-45=16-36$

• 將兩邊做因式分解

  $5^2-5\times 9=4^2-4\times 9$

• 將兩邊加上相同的數

  $5^2-5\times 9+\frac{81}{4}=4^2-4\times 9+\frac{81}{4}$

• 將兩邊再做一次因式分解

  ${(5-\frac{9}{2})}^2={(4-\frac{9}{2})}^2$

• 將兩邊開方

  $5-\frac{9}{2}=4-\frac{9}{2}$

• 消去相同的項

  $5=4$

Q.E.D.

那一證明內的錯誤在於$x^2=y^2$不表示$x=y$的這一事實。到此之前的算術都是正確的，而事實上，$-(5-\frac{9}{2})=4-\frac{9}{2}$。需注意的是，若將4減去$\frac{9}{2}$，會得到$-\frac{1}{2}$。若再平方的話，則會得到正的$\frac{1}{4}$。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話，則將會看見$\frac{1}{2}$會等於$\frac{1}{2}$。原始的$-20=-20$式子事實上是會導致一個正確的等式的（若此一問題是以此一純粹的方式運算的話）。

證明1+1=0

• 求$1+1$︰

$\begin{array}{cc}1+1& =1+\sqrt{1}\\ & =1+\sqrt{(-1)(-1)}\\ & =1+\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}\\ & =1+i\times i\\ & =1+(-1)\\ & =0\\ \end{array}$

Q.E.D.

此證明的錯誤在於$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$只有在a與b不皆為負數才成立，$\sqrt{(-1)(-1)}$並不等於$\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}$。

證明0=1

首先，設定一個無窮級數。

$0=0+0+0+\cdots$

因為$0=1-1$，因此：

$0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots$

拆括號之後在於不同的地方加上括號：

$0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots$

$-1+1=0$，因此：

$0=1+0+0+0+\cdots$

$0=1$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下，將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的，因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數 $s=1-1+1-1+1-1+\cdots$。

證明任何數字等於1/任何數字

$-\frac{1}{b}$

$=-\frac{\frac{a}{a}}{b}$

$=-\frac{a}{b}\cdot \frac{1}{a}$

$\frac{-\frac{a}{b}}{-\frac{1}{b}}=\frac{1}{a}$

$-\frac{a}{b}\cdot -b=\frac{1}{a}$

$a=\frac{1}{a}$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，$\frac{-\frac{a}{b}}{-\frac{1}{b}}$ 不等於 $\frac{1}{a}$，正確等式應是$\frac{-\frac{1}{b}}{-\frac{a}{b}}=\frac{1}{a}$（下一步：$\frac{1}{b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{1}{a}$）。

證明0/0等於0

首先，我們知道：

$0^4=0\times 0\times 0\times 0=0$

$0^2=0\times 0=0$

由於$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$

因此$\frac{0^4}{0^2}=0^{4-2}=0^2=0$

因此$\frac{0}{0}=0$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$成立的前提有$a\ne 0$。

證明任意兩數都是相等的

設$u=a,v=b-c$
設$a=x-y,b=(x+y{)}^2,c=4(x^2-xy+y^2)$

由和立方與差立方公式可知：

$(u+\sqrt{v}{)}^3=u^3+3u^2\sqrt{v}+3uv+v\sqrt{v}$

$(u-\sqrt{v}{)}^3=u^3-3u^2\sqrt{v}+3uv-v\sqrt{v}$

由於$u=a,v=b-c$

$(a+\sqrt{b-c}{)}^3=a(a^2+3b-3c)+(3a^2+b-c)\sqrt{b-c}$

$(a-\sqrt{b-c}{)}^3=a(a^2+3b-3c)-(3a^2+b-c)\sqrt{b-c}$

將$a=x-y,b=(x+y{)}^2,c=4(x^2-xy+y^2)$代入$3a^2+b-c$，可得：

$3a^2+b-c=3(x^2-2xy+y^2)+x^2+2xy+y^2-4(x^2-xy+y^2)=0$

因此：

$\begin{array}{cc}(a+\sqrt{b-c}{)}^3& =(a-\sqrt{b-c}{)}^3\\ a+\sqrt{b-c}& =a-\sqrt{b-c}\\ \sqrt{b-c}& =0\\ b-c& =0\\ b& =c\\ \end{array}$

代入$b=(x+y{)}^2,c=4(x^2-xy+y^2)$，可得：

$\begin{array}{cc}(x+y{)}^2& =4(x^2-xy+y^2)\\ x^2+2xy+y^2& =4(x^2-xy+y^2)\\ -3x^2+6xy-3y^2& =0\\ (x-y{)}^2& =0\\ x-y& =0\\ x& =y\\ \end{array}$

Q.E.D.

这个证明的错误在于：

1、在以上的假设下，可得$v=b-c=(x+y{)}^2-4(x^2-xy+y^2)=-3(x-y{)}^2=-3a^2=-3u^2$，所以$u$和$v$并不是独立的；

2、在复数域中，由$x^3=y^3$得不出$x=y$。在此证明中，由$(a+\sqrt{b-c}{)}^3=(a-\sqrt{b-c}{)}^3$得出$a+\sqrt{b-c}=a-\sqrt{b-c}$是错误的。

几何例子

第一题：证明任何三角形都是正三角形

第一题错误的证图

第一题正确的证图

第二题错误的证图

第二题正确的证图

给定三角形△ABC，证明AB = AC:

1. 作∠A的角平分线。
2. 作BC的垂直平分线，并设BC的中点为D。
3. 设这两条直线的交点为P。
4. 从P向AB和AC作垂线，并设垂足为E和F。
5. 作直线PB和PC。
6. △EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE由于AP平分∠A；∠AEP ≅ ∠AFP都是直角）。
7. △PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC是直角；PD = PD；BD = CD由于PD平分BC）。
8. △EPB ≅ △FPC（EP = FP由于△EAP ≅ △FAP；BP = CP由于△PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC由于它们是对顶角）。
9. 因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。
10. 同理，AB = BC，AC = BC。

证毕。

这个证明的错误在于，只有在△ABC為等腰三角形，P才會位于三角形的内部，而且AP与DP会重合。

第二题：证明直角等于钝角

给定一个矩形ABCD，证明∠DCB=∠ECB；

1. 在矩形ABCD外作CE=CD。
2. 联结AE。
3. 作BC、AE的中垂线，它们的垂足分别是G、F，两条直线交于H。
4. 在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的，所以HA=HE，HB=HC。
5. 矩形的对边相等，得AB=DC；加上作图要求，得AB=EC。
6. 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。
7. 由于HB=HC，则得∠HBC=∠HCB。
8. 等量减等量，得∠ABC=∠ECB。
9. 矩形的四个角都是90°，得∠ABC=∠ECB=90°。

Q.E.D.

这个证明的错误在于，由于△ABH≅△ECH，则∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转，因AH穿过了矩形ABCD，则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

微积分例子

证明0等于1

我们从计算以下的不定积分开始：

$\int \frac{1}{x}dx$

利用分部积分法，可得：

$u=\frac{1}{x}$，$dv=dx$

因此：

$du=-\frac{1}{x^2}dx$，$v=x$

所以，有：

$\int \frac{1}{x}dx=\frac{x}{x}-\int (-\frac{1}{x^2})xdx$

$\int \frac{1}{x}dx=1+\int \frac{1}{x}dx$

$0=1$

证毕。

这个证明的错误在于，忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算，會得到$1+\int \frac{1}{x}dx=1+\ln |x|+C=\ln |x|+C^{\prime }$。

參見

• 悖論