反常積分

廣義積分，又称为反常积分、异常积分（Template:Lang-en ），是对普通定积分的推廣。

广义积分可以分成兩類，第一類又稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。第二類稱為瑕積分，指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。

第一類反常積分

第一類反常積分：上限或下限為無限的積分。

定義

第一類反常積分是無窮積分，指積分區間的上限或下限中含有無窮 ∞ 的积分。數學定義如下：

设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上連續且可積。定義無窮積分：

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{u\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{u}{\int }}f(x)dx$。

类似的，设函数 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },a]$ 上連續且可積。定義無窮積分：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=\underset{u\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{u}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$。

当上述极限存在时，称該积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。

例子如下：

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=\underset{u\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{u}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=1$；

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{u\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{u}{\int }}\frac{1}{x}dx=+\mathrm{\infty }$，即發散；

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\sin xdx=\underset{u\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{u}{\int }}x\sin xdx$ ，振動發散。

推廣定義

第一類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為無窮 ∞ 的積分。

设函数 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上連續且可積。定義無窮積分：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{u\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{v\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{u}{\overset{v}{\int }}f(x)dx$。

或者取區間上任意一點 $c$ ，分拆寫成：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{u\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{u}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{v\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{c}{\overset{v}{\int }}f(x)dx$。

當上述極限同時存在時，稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-x^2}dx=\underset{u\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{u}{\overset{0}{\int }}x{e}^{-x^2}dx+\underset{v\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{v}{\int }}x{e}^{-x^2}dx=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$；

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xdx=\underset{u\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{u}{\overset{0}{\int }}xdx+\underset{v\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{v}{\int }}xdx=-\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }$，即發散。

與柯西主值的聯繫

在無窮積分的推廣定義中，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同。

设函数 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上連續且可積。定義無窮積分的柯西主值：

$\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-R}{\overset{R}{\int }}f(x)dx$。

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說：

$\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xdx=\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-R}{\overset{R}{\int }}xdx=0$。

根據定義，若無窮積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

第二類反常積分

第二類反常積分：被積函數的區間中含有不連續點。

定義

第二類反常積分是瑕積分，指積分區間的上限或下限是被積函數的不連續點。數學定義如下：

設函數 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上連續且可積，但在點 $a$ 不連續。定義瑕積分：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{u\to a^{+}}{\lim }\underset{u}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$。

類似的，設函數 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上連續且可積，但在點 $b$ 不連續。定義瑕積分：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{u\to b^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{u}{\int }}f(x)dx$。

當上述極限存在時，稱該積分收斂。當上述極限不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\frac{1}{\sqrt{3-x}}dx=\underset{u\to 3^{-}}{\lim }\underset{0}{\overset{u}{\int }}\frac{1}{\sqrt{3-x}}dx=2\sqrt{3}$；

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\underset{u}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=+\mathrm{\infty }$，即發散。

推廣定義

第二類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為不連續點，或上限及下限之間含有不連續點的積分。

設函數 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上連續且可積，但在點 $a$ 及 $b$ 不連續。定義瑕積分：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{u\to a^{+}}{\lim }\underset{v\to b^{-}}{\lim }\underset{u}{\overset{v}{\int }}f(x)dx$。

或者取區間上任意一點 $c$ ，分拆寫成：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{u\to a^{+}}{\lim }\underset{u}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{v\to b^{-}}{\lim }\underset{c}{\overset{v}{\int }}f(x)dx$。

設函數 $f(x)$ 在 $[a,c)$ 及 $(c,b]$上連續且可積，但在點 $c$ 不連續。定義瑕積分：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{u\to c^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{u}{\int }}f(x)dx+\underset{v\to c^{+}}{\lim }\underset{v}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$。

當上述極限同時存在時，稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}dx=\underset{u\to 0^{-}}{\lim }\underset{-1}{\overset{u}{\int }}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}dx+\underset{v\to 0^{+}}{\lim }\underset{v}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}dx=6$；

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{u\to 0^{-}}{\lim }\underset{-1}{\overset{u}{\int }}\frac{1}{x}dx+\underset{v\to 0^{+}}{\lim }\underset{v}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x}dx=-\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }$，即發散。

與柯西主值的聯繫

在瑕積分的推廣定義中，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同。

設函數 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上連續且可積，但在點 $a$ 及 $b$ 不連續。定義瑕積分的柯西主值：

$\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\underset{a+\epsilon }{\overset{b-\epsilon }{\int }}f(x)dx$；

設函數 $f(x)$ 在 $[a,c)$ 及 $(c,b]$上連續且可積，但在點 $c$ 不連續。定義瑕積分的柯西主值：

$\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }[\underset{a}{\overset{c-\epsilon }{\int }}f(x)dx+\underset{c+\epsilon }{\overset{b}{\int }}f(x)dx]$

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說：

$\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\underset{-1+\epsilon }{\overset{1-\epsilon }{\int }}\frac{1}{x}dx=0$。

根據定義，若瑕積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

参考文献

• 歐陽光中、朱學炎、陳傳璋 (2007)。《數學分析（下冊）》。第三版。高等教育出版社。ISBN 978-7-04-020743-9。
• Weisstein, Eric W. Improper Integral. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. -{R|http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html}-Template:Wayback
• Weisstein, Eric W. Cauchy Principal Value. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. -{R|http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html}-Template:Wayback

参见

• 积分
• 極限
• 柯西主值