无平方因子数

Template:Expand Template:NoteTA 无平方因子数（Template:Lang-en）是指其因數中，沒有一個是平方數的正整數。簡言之，將一個這樣的數予以質因數分解後，所有質因數的冪都不會大於或等於2。例如：54=Template:質因數分解，由於54有因數是平方數（$3^2=9$），所以54不是无平方因子数；而55=Template:質因數分解，55沒有因數是平方數，所以55是无平方因子数。

以數學概念說明：若一個數$R$是无平方因子数，則對於任意平方數$S^2$且$S^2\le R$則$S^2\nmid R$；或者說當$R=P_1{P}_2{P}_3...P_n$且$P_1,P_2,P_3,...,P_n$皆為質數時，對於任意$1\le i,j\le n$，$i\ne j$而言，$P_i\ne P_j$

另一方面，默比乌斯函数$\mu (n)\ne 0$當且僅當$n\ge 1$且$n=1$或$n$為无平方因子数時

前20個無平方因數的數是：1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15、17、19、21、22、23、26、29、30、31Template:OEIS

由於无平方因子数的所有質因數指數均為一次方，故除1以外，有關數的正因數數目必定是2的非負整數次方。

將无平方因子数分解為兩數之積，這兩數一定互質。Template:查證請求Template:來源請求Template:OR

依定義，顯然所有的質數、楔形数、質數階乘與有4個正因數的半質數都是无平方因子数。

不含平方因子的数的分布

如果用Q(x)来表示1和x之间的不含平方因子的数，则：

$Q(x)=\frac{6x}{{\pi }^2}+O(\sqrt{x})$

因此，不含平方因子的数的自然密度为：

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{Q(x)}{x}=\frac{6}{{\pi }^2}=\frac{1}{\zeta (2)}$

其中ζ是黎曼ζ函数。

类似地，如果用Q(x,n)来表示1和x之间的不含n次方因子的数，则我们可以证明：

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{Q(x,n)}{x}=\frac{1}{\zeta (n)}.$