勒贝格点

在數學的實分析中，一個函數f的定義域上的一點，稱為勒貝格(Lebesgue)點，大約是指在該點附近可以取任意小的鄰域，使得f在這鄰域上的平均，非常接近f在該點的值。

定義

若$\mu$是${ℝ}^n$上的拉东测度，$f:{ℝ}^n\to ℝ$，$1\le p<\mathrm{\infty }$，$f\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^p({ℝ}^n,\mu )$，即$|f{|}^p$是局部可積函數，那么若点$x$适合

$\underset{r\to 0+}{\lim }\frac{1}{\mu (B(x,r))}\underset{B(x,r)}{\int }|f-f(x){|}^p\mathrm{d}\mu =0$，

则稱$x$是勒贝格点。（其中$B(x,r)$是以x为中心，r为半径的閉球。）勒貝格微分定理證明了在${ℝ}^n$中，勒贝格点是$\mu$几乎处处的。

參考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.