加法逆元

加法逆元（additive inverse）又稱相反數（Template:Lang）、反数，其定義是對於任意數$a$，存在相反数滿足其與$a$的和為零（加法單位元）；$a$ 的加法逆元表示為 $-a$。

在實數中，數$a$的相反數$-a$，稱為其加法逆元；相對地，數$a$的倒數$\frac{1}{a}$或$a^{-1}$，則稱為其乘法逆元。

一般定義

設「+」為一個交換性的二元運算，即對於所有$x$, $y$, $x+y=y+x$。若該集合中存在一個元素$0$，使得對於所有$x$, $x+0=0+x=x$，則此元素是唯一的。如果對於一個給定的$x$，存在一個$x^{\prime }$使得$x+x^{\prime }=x^{\prime }+x=0$，則稱$x^{\prime }$是$x$的加法逆元。

特殊情況

定義

若「+」滿足結合律，則任意數的加法逆元是唯一的。

證明

反證法： 設$x$有兩個相異的加法逆元$x_1$、$x_2$
有$x=x+0$ 的關係。
⇒ $0=x+x_1=x+x_2$
⇒ $x_1=x_2$
產生矛盾，證訖。

例

• 向量空間：純量乘法$-1$
• 歐幾里得空間：以原點為中心的反演變換