棣莫弗公式

复平面上的立方根等於1.

棣莫弗公式（英語：de Moivre's formula）是一個關於複數和三角函數的公式，命名自法國數學家亞伯拉罕·棣美弗（1667年－1754年）。其內容為對任意实数

$x$

和整數

$n$

，下列性質成立：

$(\cos (x)+i\sin (x){)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx)$

其中$i$是虛數單位（$i^2=-1$）。值得注意的是，儘管本公式以棣美弗本人命名，他從未直接地將其發表過。為了方便起見，我們常常將$\cos x+i\sin x$合併為另一個三角函數Template:Math，也就是說：

${\mathrm{cis}}^n(x)=\mathrm{cis}(nx)$

在操作上，我們常常限制$x$屬於實數，這樣一來就可藉由比較虛部與實部的方式把$\cos (nx)$和$\sin (nx)$變化為$\cos x$和$\sin x$的形式。另外，儘管棣美弗公式限制$n$須為整數，但倘若適當推廣本公式，便可將$n$拓展到非整數的領域。

證明

（证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形，并推广到负整数。）

令$P(n)=(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ),n\in \mathbb{N}$

（1）当$n=0$时，显然成立。

（2）當$n=1$时：

左式 $=(\cos \theta +i\sin \theta {)}^1=\cos \theta +i\sin \theta =\cos (1\cdot \theta )+i\sin (1\cdot \theta )=$ 右式

因此，$P(1)$成立。

（3）當$n>1$时：

假設$P(k)$成立，即$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^k=\cos (k\theta )+i\sin (k\theta )$

當$n=k+1$时：

$\begin{array}{cc}(\cos \theta +i\sin \theta {)}^{k+1}& =(\cos \theta +i\sin \theta {)}^k\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =(\cos k\theta +i\sin k\theta )\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =(\cos k\theta \cdot \cos \theta +i\sin k\theta \cdot i\sin \theta )+(\cos k\theta \cdot i\sin \theta +i\sin k\theta \cdot \cos \theta )\\ & =(\cos k\theta \cdot \cos \theta -\sin k\theta \cdot \sin \theta )+i(\cos k\theta \cdot \sin \theta +\sin k\theta \cdot \cos \theta )\\ & \stackrel{1}{=}\cos (k\theta +\theta )+i\sin (k\theta +\theta )\\ & =\cos [(k+1)\theta ]+i\sin [(k+1)\theta ]\\ \end{array}$

等号1处使用和角公式。

因此，$P(k+1)$也成立。

综上所述，根據數學歸納法，$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$，$P(n)$成立。

另外，由恒等式：

$(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))\cdot (\cos (-n\theta )+i\sin (-n\theta ))=1$

可知，公式对于负整数情况也成立。

证毕。

檢定

Template:請注意最简单的方法是应用欧拉公式。

由於$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

所以$(\cos x+i\sin x{)}^n=(e^{ix}{)}^n=e^{inx}=e^{i(nx)}=\cos (nx)+i\sin (nx)$

用棣莫弗公式求根

此定理可用來求單位複數的 $n$ 次方根。設 $|z|=1$，表為

$z=\cos \theta +i\sin \theta$

若 $w^n=z$，則 $w$ 也可以表成：

$w=\cos \varphi +i\sin \varphi$

按照棣莫弗公式：

$w^n=(\cos \varphi +i\sin \varphi {)}^n=\cos n\varphi +i\sin n\varphi =\cos \theta +i\sin \theta =z$

於是得到

$n\varphi =\theta +2k\pi$（其中 $k\in \mathbb{Z}$）

也就是：

$\varphi =\frac{\theta +2k\pi }{n}$

當 $k$ 取 $0,1,\dots ,n-1$，我們得到 $n$ 個不同的根：

$w=\cos (\frac{\theta +2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\theta +2k\pi }{n}),k=0,1,\dots ,n-1$