测地曲率

测地曲率：设P是曲線（C）上一点，$\alpha$是（C）在P点的单位切向量，$\beta$是主法向量，$\gamma$是副法向量。再设n是曲面S在P点的单位法向量。命$\epsilon =n\times \alpha$。

曲线（C）在P点的曲率向量$\ddot{r}=k\beta$在$\epsilon$上的投影（也就是在S上P点的切平面上的投影）

$k_g=\ddot{r}\cdot \epsilon$

称为曲线（C）在P点的测地曲率。

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相关命题

• 曲面S上的曲线（C），它在P点的测地曲率的绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线（C'）的曲率。

• $k^2=k_g^2+k_n^2$

式中，k为曲线在P点的曲率，$k_n$为曲线在P点的法曲率。

二維曲面常用的測地曲率公式

今有一緊緻定向的二維曲面S，其線元素可用曲面的第一基本形式的係數表示為：$d{s}^2=Ed{u}^2+2Fdudv+Gd{v}^2$，則其度量張量可表成下列關係式：

$(g_{ij})=\left(\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)$

每當進行涉及到微分幾何的實用演算時，都會用到其分量形式以利細部計算，因此有必要將前述向量形式定義的測地曲率以其分量形式來表徵，以下將界定在二維曲面上局部範圍，有關公式及其推導過程，可於列出的相關參考文獻中找到。

二維曲面測地曲率之Beltrami公式

令$C$為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長$s$為參數，則曲線$C$的參數方程式為$C:r(s)=(u(s),v(s))$，則它在P點的測地曲率$k_g$可表為下列克氏符號（全稱克里斯多福符號，Christoffel symbols）相關的表示式 ：

$k_g=\sqrt{EG-F^2}[{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2{\left(\frac{du}{ds}\right)}^3+(2{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1){\left(\frac{du}{ds}\right)}^2\frac{dv}{ds}+({\mathrm{\Gamma }}_{22}^2-2{\mathrm{\Gamma }}_{12}^1)\frac{du}{ds}{\left(\frac{dv}{ds}\right)}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1{\left(\frac{dv}{ds}\right)}^3+\frac{du}{ds}\frac{d^{2}v}{d{s}^2}-\frac{d^{2}u}{d{s}^2}\frac{dv}{ds}]$

上述用克式符號表示測地曲率的一般公式即是所謂的Beltrami公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)。這裡所用的克氏符號 Template:Math 在有些書籍還會沿用舊式的 Template:Math符號注記。由於克式符號屬曲面的內蘊性質，而上述測地曲率一般公式只和克式符號與曲面第一基本形式有關，因此，測地曲率必然是屬曲面的內蘊幾何量。

今若曲線$C$是沿著$u=(s)$座標線的話，此時$v=$常數，使得$dv/ds=0$以及$du/ds=1/\sqrt{g_{11}}$，那麼其測地曲率可算得為：

$(k_g{)}_{u-line}={\mathrm{\Gamma }}_{11}^2\frac{\sqrt{EG-F^2}}{E\sqrt{E}}={\mathrm{\Gamma }}_{11}^2\left(\frac{g^{1/2}}{g_{11}^{3/2}}\right)$

同理，假如曲線$C$是沿著$v=(s)$座標線的話，使得$u=$常數，因此$du/ds=0$以及$dv/ds=1/\sqrt{g_{22}}$，那麼其測地曲率可化簡為：

$(k_g{)}_{v-line}=-{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1\frac{\sqrt{EG-F^2}}{G\sqrt{G}}=-{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1\left(\frac{g^{1/2}}{g_{22}^{3/2}}\right)$

二維曲面測地曲率之Liouville公式

令$C$為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長$s$為參數，則曲線$C$的參數方程式為$C:r(s)=(u(s),v(s))$，今其參數化是採正交座標系，換言之，第一基本形式的係數$F=0$，又令曲線$C$在P點與$u$座標線的夾角為$\theta$，則它在P點的測地曲率$k_g$可表為下列與$\theta (s)$夾角相關的Liouville公式 ：

$\begin{array}{cc}{k}_g& =\frac{d\theta (s)}{ds}-\frac{1}{2\sqrt{G}}\frac{\partial \ln E}{\partial v}\cos \theta +\frac{1}{2\sqrt{E}}\frac{\partial \ln G}{\partial u}\sin \theta \\ & =\frac{d\theta (s)}{ds}+(k_g{)}_{u-line}\cos \theta +(k_g{)}_{v-line}\sin \theta \\ & =\frac{d\theta (s)}{ds}+(k_g{)}_{u-line}\sqrt{E}\frac{du}{ds}+(k_g{)}_{v-line}\sqrt{G}\frac{dv}{ds}\end{array}$

上述公式中的$(k_g{)}_{u-line}$與$(k_g{)}_{v-line}$乃分屬於兩個座標線對應的測地曲率，至於它們的具體表徵是什麼，接下來將分別推導出其詳細內容。首先，考量如若曲線$C$是沿著$u=(s)$座標線的話，此時$v=$常數，則有$dv/ds=0$以及$du/ds=1/\sqrt{E}$，那麼該測地曲率可算得為：

$(k_g{)}_{u-line}=-\frac{E_v}{2E\sqrt{G}}$

同理，假如曲線$C$是沿著$v=(s)$座標線的話，此時$u=$常數，導致$du/ds=0$以及$dv/ds=1/\sqrt{G}$，那麼此測地曲率可算得為：

$(k_g{)}_{v-line}=\frac{G_u}{2G\sqrt{E}}$

以上測地曲率之Liouville公式就已列出有三種，若覺得怎麼會有這麼多樣形式，其實還有其他變形，例如可參考網路上更加精簡且優美的形式，這端賴解析問題時，需要配套什麼形式的公式而定。

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