循环小数

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循環小數Template:分数=0.142857142857…

Template:数

循环小数，也稱為無限循環小數，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。

定義

循環小數都為有理數的小數表示形式，例：

$\frac{5}{4} = 1.25 = 1.25000000 \dots = 1.25 \overline{0} = 1.24999999 \dots = 1.24 \overline{9}$

$\frac{1}{3} = 0.3333333 \dots = 0 . \overline{3}$

$\frac{1}{7} = 0.142857142857 \dots = 0 . \overline{142857}$

性质

一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数，循环节位数一定是N-1的因数（参见：费马伪素数）。為了证明这点，可用反证法。假设 $n$ 的循环节为m，令m>n。将1/n乘以10，循环往复操作，会得到不同的余数。根据余数定义，余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数，所以只有n-1种循环节。若长度为m位，则必有(m-n+1)种循环节无法轮替，所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
根據分數 $\frac{b}{a}$ 的情況分開討論

1.除数a为

2^{m} \times 5^{n} \times K

的倍數时，

b \div a

有max(m,n)个不循环位数，其中

b

為任意自然數，

K

為非

2^{m}, 5^{n}

之其他數。

2.如果

1 ⩽ b < a

，a不是2或5的倍数，並且a與b互質，那麼存在一個正整數e，e為

b \div a

的循環節位數，而e=

\min {e \in ℕ : 1 0^{e} \equiv 1 (\mod a)}

。^[1]

1 0^{e} \equiv 1 (\mod a)

表示

1 0^{e} - 1

可以整除a，或稱

1 0^{e}

與1同餘）

事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:

\frac{1 0^{d} \times b}{a} = q + \frac{b}{a}

來看，

b > a

也成立，例如

\frac{2}{7}

與

\frac{9}{7}

，兩者循環小數一致，因為

\frac{8}{7} = 1 + \frac{1}{7}

，只差別在商，餘數皆為1(同餘)故成立。

3.承接以上兩點，當除数a可以質因數標準分解式表示成

(2^{m} \times 5^{n}) \times (P 1^{S 1} \times P 2^{S 2} \times

⋯

\times P n^{S n})

時，會有max(m,n)個不循環位數，和

E

個循環節位數。

其中，

P 1^{S 1}

,

P 2^{S 2}

,⋯,

P n^{S n}

分別各有Template:Nowrap個循環節位數，存在一個最小公倍數

E = [

Template:Nowrap

]

。

例：

\frac{11}{2^{2} \times 3^{2} \times 5^{3} \times 7 \times 17}

的循環節個數？

答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為

3^{2}

的循環節位數為1，7的循環節位數為6，17的循環節位數為16，[1,6,16]=48）^[2]

化為分數的方法

0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未約至最簡)

(⬇另一方法)

先看有幾位「非循環節位數（ $n$ ）」和「循環節位數（ $m$ ）」，算出後，將 $\begin{matrix} \underset{⏟}{999 \dots 9} \\ m \end{matrix} \begin{matrix} \underset{⏟}{000 \dots 0} \\ n \end{matrix}$ 擺於「分母」。
「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即 $a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{m} - a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}$ ，詳細公式如下。
公式： $0 . a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} \overline{b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{m}} = \frac{a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{m} - a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}}{\begin{matrix} \underset{⏟}{999 \dots 9} \\ m \end{matrix} \begin{matrix} \underset{⏟}{000 \dots 0} \\ n \end{matrix}}$
原理：
1. 令 $x = 0 . a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} \overline{b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{m}}$ 。
2. 則 $1 0^{n} x = a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} . \overline{b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{m}}$ ──①式。
3. $1 0^{n + m} x = a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{m} . \overline{b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{m}}$ ──②式。
4. ②－①⇒ $(1 0^{n + m} - 1 0^{n}) x = a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{m} - a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}$ 。
5. $\begin{matrix} x & = \frac{a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{m} - a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}}{1 0^{n + m} - 1 0^{n}} \\ = \frac{a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{m} - a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}}{1 0^{n} (1 0^{m} - 1)} \\ = \frac{a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{m} - a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}}{\begin{matrix} \underset{⏟}{1000 \dots 0} \\ n \end{matrix} \times \begin{matrix} \underset{⏟}{999 \dots 9} \\ m \end{matrix}} \\ = \frac{a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{m} - a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}}{\begin{matrix} \underset{⏟}{999 \dots 9} \\ m \end{matrix} \begin{matrix} \underset{⏟}{000 \dots 0} \\ n \end{matrix}} \end{matrix}$ 。
範例：0.123‾=123−1990=61495。
1. 令 $x = 0.1 \overline{23}$
2. 則 $10 x = 1 . \overline{23}$ 、 $1000 x = 123 . \overline{23}$
3. 兩式相減得 $(1000 - 10) x = 123 - 1$ ， $990 x = 122$
4. ∴ $x = \frac{61}{495}$ 。

计算方法

利用短除法可以将分数(有理数， $ℚ$ )转化为循环小数。

例如 $\frac{3}{7}$ 可以用短除法计算如下：

7|3.00000000000000000
  0.42857142857142857...

表示方法

循环小数在不同国家地区都有不同的表示惯例，但没有一种惯例是通用的。

附有示例的不同符号
分数		括线	上点	括号	弧线	省略号
Template:Sfrac		0.Template:Overline	0.Template:Overset	0.(1)	0.Template:Overarc	0.111...
Template:Sfrac	= Template:Sfrac	0.Template:Overline	0.Template:Overset	0.(3)	0.Template:Overarc	0.333...
Template:Sfrac	= Template:Sfrac	0.Template:Overline	0.Template:Overset	0.(6)	0.Template:Overarc	0.666...
Template:Sfrac	= Template:Sfrac	0.Template:Overline	0.Template:Overset Template:Overset	0.(81)	0.Template:Overarc	0.8181...
Template:Sfrac	= Template:Sfrac	0.58Template:Overline	0.58Template:Overset	0.58(3)	0.58Template:Overarc	Template:Gaps...
Template:Sfrac	= Template:Sfrac	0.Template:Overline	0.Template:Overset4285Template:Overset	0.(142857)	0.Template:Overarc	Template:Gaps...
Template:Sfrac	= Template:Sfrac	0.Template:Overline	0.Template:Overset1234567Template:Overset	0.(012345679)	0.Template:Overarc	Template:Gaps...
Template:Sfrac	= Template:Sfrac	3.Template:Overline	3.Template:Overset4285Template:Overset	3.(142857)	3.Template:Overarc	Template:Gaps...
Template:Sfrac	= Template:Sfrac	11.Template:Overline	11.Template:Overset88679245283Template:Overset	11.(1886792452830)	11.Template:Overarc	Template:Gaps...

括线：在美国、加拿大、印度、法国、德国、意大利、瑞士、捷克共和国、斯洛伐克、斯洛文尼亚、智利和土耳其，惯例是在重复的循环节上方绘制一条水平线（括线）。

上点：在一些伊斯兰国家，如马来西亚、摩洛哥、巴基斯坦、突尼西亚、伊朗、阿尔及利亚和埃及，以及英国、新西兰、澳大利亚、南非、日本、泰国、印度、大韩民国、新加坡和中国，惯例是将点放在重复的循环节最外围的数字上方。

括号：在欧洲的部分地区，包括奥地利、丹麦、芬兰、荷兰、挪威、波兰、俄罗斯和乌克兰，以及越南和以色列，惯例是将重复的循环节放在括号中。这会与Template:Tsl的符号混淆。

弧线：在西班牙和一些拉丁美洲国家，例如阿根廷、巴西和墨西哥，括线和上点以重复的循环节上的弧线替代。

省略号：非正式地，重复小数通常用省略号表示（三个句点，0.333…），尤其是在学校首次教授以前的符号惯例时。这种符号会带来不确定性，即哪些数字应该循环，甚至是否会发生循环，因为这种省略号也用于无理数；例如，[[pi|Template:Pi]]可以表示为3.14159…。

缺点

不唯一性

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如 $1.000000 \dots = 1 . \overline{0} = 0 . \overline{9} = 0.999999 \dots$

与進位制系統密切相关

由于循环小数与進位制系統密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如： $\frac{1}{17} = 0.05882352941176470588235294117647 \dots = 0 . \overline{0588235294117647}$

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如 $\frac{1}{17} = {\frac{1}{11}}_{(16)} = 0 . 0 F 0 F \dots_{(16)} = 0 . {\overline{0 F}}_{(16)}$

又或 $\frac{1}{17} = {\frac{1}{10}}_{(17)} = 0 . 1_{(17)}$

参考资料

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參見

外部連結

[1] Template:Cite journal

[2] Template:Cite journal

[1]

[2]

循环小数

目录

定義

性质

化為分數的方法

计算方法

表示方法

缺点

不唯一性

与進位制系統密切相关

参考资料

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化為分數的方法

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不唯一性

与進位制系統密切相关

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