分数微积分

数学上，分數微積分（fractional calculus）是数学分析的一个分支，它研究微分算子$D=\frac{d}{dx}$和积分算子J的实数次幂的可能应用（通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆）。

在这个上下文中，幂指反复应用，和

$f^2(x)=f(f(x))$

中的平方意义相同。例如，可以提出如何解释如下符号的问题

$\sqrt{D}=D^{\frac{1}{2}}$

作为微分算子的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。

更一般的，

$D^n$

对于实数值的n，使得当n为整数时，若n>0,它等同于通常的幂n次操作，当n<0,它等同于n次积分J。

讨论这个问题有几个原因。一个是，这样幂Dⁿ组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。注意，分数是个错误的记号，因为指数可以取非有理数，但是分数微积分已成为习惯用法。

歷史緣由

在應用數學與數學分析中，一個分數階的導數是一個可以為任意階實數或是複數的導數。這個概念第一次出現在1695年，萊布尼茲寫給洛必達的書信中。分數微積分則是第一次被介紹在阿貝爾的早期論文中，其中關於各種分數階的積分與微分的概念、微分與積分的關係、關於分數階的微分與積分其實都可以被視作一種廣義算子，以及統一關於實數階微分與積分的概念。該主題的基礎由劉維爾(Liouville)在1832年的論文中獨立奠定的，奧利弗·黑維塞(Oliver Heaviside)在1890年引入分數微分算子在電力傳輸分析中。分數微積分的理論與應用在19世紀跟20世紀中得到發展，許多貢獻者都給出了分數階導數與積分的定義。

试探法

一个很自然的想法是问，是否存在一个算子$H$起到半导数的作用，即使得：

$H^{2}f(x)=Df(x)=\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$

结论是：这样的算子是存在的，对于任意$a>0$,存在一个算子$P$,满足：

$(P^{a}f)(x)=f^{\prime }(x)$，

或者换一个说法, $\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$的定义可以从正整数n扩充到所有的实数n.

在这里我们引入Γ函數将阶乘扩展到实数和复数域上. Γ函數的定义如下：

$n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)$，

假设对函数$f(x)$ $(x>0)$在0到x上求积分，我们可以形式的定义积分算子J:

$(Jf)(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

重复这个过程，可得：

$(J^{2}f)(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(Jf)(t)dt=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)ds)dt$,

这个过程可以任意的重复下去。

利用重复积分的柯西公式，即：

$(J^{n}f)(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{n-1}f(t)dt$

我们可以直截了当的写出任意实数n的积分算子。

直接利用$\mathrm{\Gamma }$函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式

$(J^{\alpha }f)(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}f(t)dt$

这个算子定义明确而且具有良好的性质。

可以证明J算子满足如下关系

$(J^{\alpha })(J^{\beta })f=(J^{\beta })(J^{\alpha })f=(J^{\alpha +\beta })f=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha +\beta -1}f(t)dt$

这个性质叫微分积分算符的半群性。然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难，而且定义出来的微分算子D一般来说不对易也不具有叠加性。

分数微分在一个简单函数上的应用

函数$f(x)=x$（蓝色线条）的半导数（紫色线条）以及一阶导数（红色线条）

這個動畫展示了不同分數微分算子如何操作在y=x（藍色），結果（綠色）在一般的積分（α=−1: y=x²/2，紫色）及一般的一次微分（α=+1: y=1，紅色）間連續變化。

假设有一个函数

$f(x)=x^k$。它的一阶导数一般是：

$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}f(x)=k{x}^{k-1}$。重复这一过程，得到更一般的结果：

$\frac{d^a}{d{x}^a}{x}^k=\frac{k!}{(k-a)!}{x}^{k-a}$，将阶乘用伽玛函数替换，可得：

$\frac{d^a}{d{x}^a}{x}^k=\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{\mathrm{\Gamma }(k-a+1)}{x}^{k-a}$。当k = 1,并且a = 1/2时我们可以得到函数$x$的半导数：

$\frac{d^{\frac{1}{2}}}{d{x}^{\frac{1}{2}}}x=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+1)}{\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{2}+1)}{x}^{1-\frac{1}{2}}=\frac{1!}{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2})}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi }}$。重复这一过程，得：

$\frac{d^{\frac{1}{2}}}{d{x}^{\frac{1}{2}}}2{\pi }^{-\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}=2{\pi }^{-\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1)}{x}^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=2{\pi }^{-\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2})}{\mathrm{\Gamma }(1)}{x}^0=\frac{2\sqrt{\pi }{x}^0}{2\sqrt{\pi }0!}=1$，这正是期望的结果：

$\left(\frac{d^{\frac{1}{2}}}{d{x}^{\frac{1}{2}}}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{d{x}^{\frac{1}{2}}}\right)x=\frac{d}{dx}x=1$。

以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次。举个例子，$(1+i)$阶导数作用后，$(1-i)$阶导数再作用，可以得到二阶导数。同时如果a为负则可为求积分。

分数微分可以得到上述相同的结果（当$0<\alpha <1$）。

$D^{\alpha }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}\frac{d}{dx}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{f(t)}{(x-t{)}^{\alpha }}dt$

对于任意的$\alpha$,由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义，需要在分数微分前先进行整数微分。例如

$D^{\frac{3}{2}}f(x)=D^{\frac{1}{2}}{D}^{1}f(x)=D^{\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}f(x)$

拉普拉斯變換

我們可以藉由拉普拉斯變換提出一個問題。已知

$ℒ\left\{Jf\right\}(s)=ℒ\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau \}(s)=\frac{1}{s}\left(ℒ\left\{f\right\}\right)(s)$

以及

$ℒ\left\{J^{2}f\right\}=\frac{1}{s}\left(ℒ\left\{Jf\right\}\right)(s)=\frac{1}{s^2}\left(ℒ\left\{f\right\}\right)(s)$

然後繼續下去，我們可以推斷:

$J^{\alpha }f={ℒ}^{-1}\left\{s^{-\alpha }\right(ℒ\{f\})(s)\}$

舉例來說:

$J^{\alpha }(t^k)={ℒ}^{-1}\left\{\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{s^{\alpha +k+1}}\right\}=\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +k+1)}{t}^{\alpha +k}$

如同預期一樣。的確，我們給出捲積性質。

$ℒ\{f*g\}=(ℒ\{f\})(ℒ\{g\})$

然後為了方便，令 Template:Math ，我們發現到:

$\begin{array}{cc}\left(J^{\alpha }f\right)(t)& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{ℒ}^{-1}\left\{\right(ℒ\{p\}\left)\right(ℒ\{f\}\left)\right\}\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}(p*f)\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}p(t-\tau )f(\tau )d\tau \\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{(t-\tau )}^{\alpha -1}f(\tau )d\tau \\ \end{array}$

即得到柯西所給出的樣子。

拉普拉斯在一些較少的函數上有效，但是它在解分數微分方程上卻非常有用。

应用

WKB近似

对于一个一维的量子系统进行准经典的近似时，系统哈密顿量$H=p^2+V(x)$中$V(x)$的倒数$V^{-1}(x)$可由对态密度的半阶微分求出

$V^{-1}(x)=2\sqrt{\pi }\frac{d^{\frac{1}{2}}}{d{x}^{\frac{1}{2}}}n(x)$

这里采用了自然单位制，即$\hslash =2m=1$

相關條目

• Γ函數
• 拉普拉斯轉換

外部链接

• 任意阶微积分 -{R|http://drhuang.com/chinese/science/mathematics/fractionalCalculus/}- Template:Wayback
• MathWorld - Fractional calculus Template:Wayback
• MathWorld - Fractional derivative Template:Wayback
• Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis Template:Wayback
• -{R|http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html}- Template:Wayback
• -{R|https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html}-
• Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc. Template:Wayback
• -{R|http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html}- Template:Wayback
• History, Definitions, and Applications for the Engineer（PDF）, by Adam Loverro, University of Notre Dame