GPY篩法

GPY篩法（Goldston-Pintz-Yıldırım sieve）是一種篩法，這種篩法是塞爾伯格篩法的一種帶有一般、多維篩選權重的變體。這種篩法已為解析數論的研究帶來多項突破。

這種篩法以Template:Link-en、Template:Link-en和Template:Link-en這三位數學家為名。他們在2005年時以此篩法證明說根據質數定理，可推出存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔。

張益唐後來修改此篩法，以證明說兩個相隔質數間出現無限多次的最小間隔的有限界限為何。之後詹姆斯·梅纳德（他把上述的界限降到$600$）及陶哲軒都曾修改此篩法。

GPY篩法

表記

首先固定$k\in \mathbb{N}$，之後定義以下表記：

• $\mathbb{P}$是質數集合，且$1_{\mathbb{P}}(n)$是這集合的特徵方程。
• $\mathrm{\Lambda }(n)$是馮·曼戈爾特函數。
• $\omega (n)$是用以計算$n$的不同質因數個數的Template:Link-en。
• $\mathscr{H}=\{h_1,\dots ,h_k\}$是一組相異的非負整數$h_i\in {\mathbb{Z}}_{+}\cup \{0\}$的集合。
• $\theta (n)$是另一個關於質數的特徵函數，其定義如下：

$\theta (n)=\{\begin{array}{cc}\log (n)& \text{if }n\in \mathbb{P}\\ 0& \text{else.}\end{array}$

其中$\theta (n)=\log ((n-1)1_{\mathbb{P}}(n)+1)$。

對於$\mathscr{H}$有以下定義：

• $\mathscr{H}(n):=(n+h_1,\dots ,n+h_k)$，
• $P_{\mathscr{H}}(n):=(n+h_1)(n+h_2)\cdots (n+h_k)$
• ${\nu }_p(\mathscr{H})$是$\mathscr{H}$模$p$的相異同餘類個數。像例如因為$\{0,2,4\}\stackrel{(\mathrm{mod}3)}{=}\{0,1,2\}$且$\{0,2\}\stackrel{(\mathrm{mod}3)}{=}\{0,2\}$之故，因此有${\nu }_3(\{0,2,4\})=3$以及${\nu }_3(\{0,2\})=2$。

假若對所有的$p\in \mathbb{P}$而言，都有${\nu }_p(\mathscr{H})<k$的話，則稱$\mathscr{H}$為「可及的」（admissible）。

構造

設$\mathscr{H}=\{h_1,\dots ,h_k\}$為「可及的」，並考慮以下篩函數（sifting function）：

$𝒮(N,c;\mathscr{H}):=\sum _{n=N+1}^{2N}(\sum _{h_i\in \mathscr{H}}{1}_{\mathbb{P}}(n+h_i)-c)w(n{)}^2,w(n)\in ℝ,c>0.$

那麼對任意的$n\in [N+1,2N]$而言，這函數即是計算扣掉某個門檻$c$之後，形如$n+h_i$的質數的個數的函數，故在$𝒮>0$的情況下，有某數$n$使得至少$\lfloor c\rfloor +1$是$\mathscr{H}(n)$中的質數。

由於$1_{\mathbb{P}}(n)$的解析性質沒那麼好之故，因此可改用下列的篩函數：

$𝒮(N;\mathscr{H}):=\sum _{n=N+1}^{2N}(\sum _{h_i\in \mathscr{H}}\theta (n+h_i)-\log (3N))w(n{)}^2.$

由於$\log (N)<\theta (n+h_i)<\log (2N)$且$c=\log (3n)$之故，我們僅在存在$n+h_i$及$n+h_j$這兩個質數的狀況下，有$𝒮>0$。我們接下來要做的，就是尋找權重函數$w(n)$以便能測得Template:Link-en。

權重的派生

一個權重函數的可能候選，是一般化的馮·曼戈爾特函數：

${\mathrm{\Lambda }}_k(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d){(\log \left(\frac{n}{d}\right))}^k,$

這函數有如次的性質：若$\omega (n)>k$，則${\mathrm{\Lambda }}_k(n)=0$。雖說這函數也會測得形式為質數冪的因子，但在應用中，這些因子可在僅造成可忽略誤差的狀況下移除。Template:Rp

因此在$\mathscr{H}(n)$是質數k元組的狀況下，以下方程不會消失：

${\mathrm{\Lambda }}_k(n;\mathscr{H})=\frac{1}{k!}{\mathrm{\Lambda }}_k(P_{\mathscr{H}}(n))$

其中$1/k!$這因子僅僅是因方便計算而選取。

（古典）馮·曼戈爾特函數可以截形馮·曼戈爾特函數來估計：

$\mathrm{\Lambda }(n)\approx {\mathrm{\Lambda }}_R(n):=\sum _{\begin{array}{c}d\mid n\\ d\le R\end{array}}\mu (d)\log \left(\frac{R}{d}\right),$

其中$R$不再表示$\mathscr{H}$的長度，但用以決定截取點。類似地我們可以下式估計${\mathrm{\Lambda }}_k(n;\mathscr{H})$：

${\mathrm{\Lambda }}_R(n;\mathscr{H})=\frac{1}{k!}\sum _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathscr{H}}(n)\\ d\le R\end{array}}\mu (d){(\log \left(\frac{R}{d}\right))}^k$

因為技術理由，我們會希望估計在多個部分中帶有質數的數組，而非再引入另一個參數$0\le \ell \le k$的狀況下僅僅估計質數組，因此我們可選取$k+\ell$或較不相異的質因數。而這引出了下列的最終形式：

${\mathrm{\Lambda }}_R(n;\mathscr{H},\ell )=\frac{1}{(k+\ell )!}\sum _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathscr{H}}(n)\\ d\le R\end{array}}\mu (d){(\log \left(\frac{R}{d}\right))}^{k+\ell }$

在不引入$\ell$這額外參數的狀況下，對不同的$d=d_1{d}_2\cdots d_k$有$d_1\le R,d_2\le R,\dots ,d_k\le R$這樣的限制；但藉由引入此參數，我們可得到更寬鬆的限制$d_1{d}_2\dots d_k\le R$。Template:Rp

故對於$k$維的篩法問題，我們有$k+\ell$維的篩法。

GPY篩法

GPY篩法有下列形式：

$𝒮(N;\mathscr{H},\ell ):=\sum _{n=N+1}^{2N}(\sum _{h_i\in \mathscr{H}}\theta (n+h_i)-\log (3N)){\mathrm{\Lambda }}_R(n;\mathscr{H},\ell {)}^2,|\mathscr{H}|=k$

其中

${\mathrm{\Lambda }}_R(n;\mathscr{H},\ell )=\frac{1}{(k+\ell )!}\sum _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathscr{H}}(n)\\ d\le R\end{array}}\mu (d){(\log \left(\frac{R}{d}\right))}^{k+\ell },0\le \ell \le k$.Template:Rp

Goldston、Pintz及Yıldırım三氏對主定理的證明

在考慮$({\mathscr{H}}_1,{\ell }_1,k_1)$、$({\mathscr{H}}_2,{\ell }_2,k_2)$以及$1\le h_0\le R$並定義$M:=k_1+k_2+{\ell }_1+{\ell }_2$的情況下，Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他們的論文中，以兩個定理證明了在合適的條件下，以下兩個非病態的形式成立。這兩個形式分別為

$\sum _{n\le N}{\mathrm{\Lambda }}_R(n;{\mathscr{H}}_1,{\ell }_1){\mathrm{\Lambda }}_R(n;{\mathscr{H}}_2,{\ell }_2)=C_1(𝒮({\mathscr{H}}^i)+o_M(1))N$

以及

$\sum _{n\le N}{\mathrm{\Lambda }}_R(n;{\mathscr{H}}_1,{\ell }_1){\mathrm{\Lambda }}_R(n;{\mathscr{H}}_2,{\ell }_2)\theta (n+h_0)=C_2(𝒮({\mathscr{H}}^j)+o_M(1))N$

其中$C_1,C_2$是兩個常數，$𝒮({\mathscr{H}}^i)$及$𝒮({\mathscr{H}}^j)$是兩個奇異級數（singular series），其描述在此省略。

最後我們可將此結果套用在$𝒮$之上，以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏「存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔」的結果。Template:Rp