史拉斯基定理

在概率論，史拉斯基定理將實數列極限的若干代數性質推廣到隨機變量序列。^[1]

敘述

設 $(X_{n}), (Y_{n})$ 為隨機純量、向量或矩陣序列。若 $(X_{n})$ 依分佈收斂至随机元素 $X$ ，且 $(Y_{n})$ 依概率收斂至常數 $c$ ，則

其中 $\overset{d}{\to}$ 表示依分佈收斂。

$(Y_{n})$ 趨向於常數的條件不能省略。假如允許趨向於非退化的隨機元，則定理不再成立。例如，設 $X_{n} \sim U n i f o r m (0, 1)$ ， $Y_{n} = - X_{n}$ ，則對所有 $n$ ，皆有和 $X_{n} + Y_{n} = 0$ 。再者， $Y_{n} \overset{d}{\to} U n i f o r m (- 1, 0)$ ，但 $X_{n} + Y_{n}$ 並不依分佈收斂至 $X + Y$ ，其中 $X \sim U n i f o r m (0, 1)$ ， $Y \sim U n i f o r m (- 1, 0)$ ， $X$ 和 $Y$ 獨立。^[3]
若將定理中，所有「依分佈收斂」改成「依概率收斂」，則結論仍然成立。

引用以下引理：若 $(X_{n})$ 依分佈收斂至 $X$ ，且 $(Y_{n})$ 依概率收斂至常數 $c$ ，則聯合向量 $(X_{n}, Y_{n})$ 依分佈收斂到 $(X, c)$ 。^[4]

現對上述依分佈的收斂使用連續映射定理。由 $f (x, y) = x + y$ ， $g (x, y) = x y$ ， $h (x, y) = x y^{- 1}$ 定義的函數 $f, g, h$ 皆為連續函數（為使 $h$ 連續，要求 $y$ 可逆），故由連續映射定理，史拉斯基定理成立。