聽出鼓的形狀

這兩塊理想鼓膜發出的聲音一樣，但其形狀不同。 所謂聲音一樣，意思是其具有相同的特徵頻率，因此敲擊發出的音色將具有相同的泛音。此例子由下文的戈登、韋伯，以及沃爾珀特給出。留意兩個多邊形具有相同的面積和周長

從鼓的音色（即其泛音列），利用數學理論，來獲取鼓膜形狀的信息，謂之聽出鼓的形狀。美國數學月刊於1966年刊登了Template:Link-en的論文〈能否聽出鼓的形狀？〉，文題由Template:Link-en給出。此數學問題可回溯至赫尔曼·外尔。

卡克1966年的論文使此問題廣為人知。他因為該論文於1967年獲Template:Link-en，並於1968年獲Template:Link-en。

鼓膜可以振動的頻率取決於其形狀。假若已知形狀，則可用亥姆霍兹方程求出頻率。該些頻率為空間（鼓膜）上的拉普拉斯算子的特征值。問題是單由該些頻率是否能確定鼓膜的形狀。例如，沒有其他形狀的鼓膜與正方形鼓膜有相同的泛音列。卡克未能得知是否存在兩個不同的形狀，其具有相同的泛音列。結果，在1992年，戈登、韋伯，以及沃爾珀特證得頻率不能完全決定形狀，解決了原來的問題。

正式敍述

更正式地，鼓視為邊界鉗緊的彈性膜，數學上表示成平面上的一個區域 D. 設 λ_n 為其Template:Link-en：即以下拉普拉斯算子的狄利克雷問題

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }u+\lambda u=0\\ u{|}_{\partial D}=0\end{array}$

的特徵值。兩個區域若具有完全相同的特徵根列，則稱其Template:Link-en，或同音（Template:Lang-en）。稱為「同音」的原因是，該些狄利克雷特徵值恰好是鼓所能發出的基調：其為鉗緊邊界的波動方程的解的傅立葉系數。

於是，可以將問題轉述成：只知 λ_n 之值，可以推導出 D 的何種性質？又或，更具體地，是否有兩個不同形狀但等譜的區域？

也可以從數個不同方向推廣，提出同樣的問題。其一，可將平面換成高維或黎曼流形，考慮其上的拉氏算子的狄利克雷問題。其二，可將拉氏算子換成其他橢圓算子，例如柯西－黎曼算子或狄拉克算子。其三，可考慮狄利克雷條件以外的其他邊界條件，例如諾伊曼邊界條件。相關課題屬於譜幾何的研究。

答案

由一個連續參數給出的一族等譜的鼓

問題提出後，約翰·米爾諾很快觀察到，Template:Link-en的一條定理足以推出存在兩個不同形狀的 16 維環面，其具有相同的特徵值。然而，原來的二維問題要待1992年才得到解決。當時，Template:Link-en , Template:Link-en 和斯科特·沃爾珀特利用砂田方法（得名自Template:Link-en）, 在平面上構造了兩個不同形狀，但卻具有同樣特徵值的區域。該些區域為凹多邊形。其特徵值相等的證明用到拉氏算子的對稱性。Template:Link-en與合作者推廣了此想法，從而構造了若干類似的例子。因此，卡克原先問題的答案是否定的：對於許多形狀，不能完全聽出鼓的形狀，不過仍可推斷出若干性質。

另一方面，Template:Link-en證明，若將卡克的問題收窄到僅考慮邊界解析的平面凸區域，則會得到肯定的答案。仍未知道是否存在兩個非凸的解析區域具有同樣的特徵值，但已知的是，與某個給定區域等譜的所有區域組成的集合，在 C^∞ 拓撲中是緊集。又例如，由Template:Link-en知，球面是譜剛的（Template:Lang-en, 即若有流形與之等譜，則其形狀亦必與之相同）。此外，利用奧斯古德（Osgood）、菲利浦斯（Phillips）和薩納克（Sarnak）的成果，可以證明固定虧格的黎曼面組成的模空間中，没有過任何點的連續等譜流，且該模空間在弗雷歇－施瓦茨拓撲（Template:Lang-en）下為緊。

外爾公式

Template:Main 外爾公式斷言，可藉 λ_n 的增長速度推斷鼓的面積 A。定義 N(R) 為小於 R 的特徵值的數目，則可得

$A={\omega }_d^{-1}(2\pi {)}^d\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{N(R)}{R^{d/2}},$

其中 d 是維數，${\omega }_d$ 是 d-維單位球的體積。外爾猜想迫近式的第二項將給出 D 的周長，即有

$N(R)=(2\pi {)}^{-d}{\omega }_{d}A{R}^{d/2}+\frac{1}{4}(2\pi {)}^{-d+1}{\omega }_{d-1}L{R}^{(d-1)/2}+o(R^{(d-1)/2}),$

其中 L 表示周長（高維情況下則為表面積）。Template:Link-en於1980年證明了上式對於某類邊界光滑的流形適用，其不具由兩個連續參數給出的一族測地線（例如球面則具有如此一族測地線）。

外爾－貝里猜想

對於邊界非光滑的情況，邁克爾·貝里於 1979 年猜想，修正值的量級應為

$R^{D/2},$

其中 D 為邊界的豪斯多夫維數。寶樂沙 (Template:Lang-fr）和卡莫納（Template:Lang-fr）推翻了此猜想，但提出應將豪斯多夫維數改成頂盒維數（即上計盒維數）。在平面上，邊界維數為 1 的情況已獲證（1993 年），但大多數高維情況被否證（1996 年），兩個結論都是Template:Link-fr和Template:Link-en的成果。

相關條目

• Template:Link-en
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• 譜幾何
• 推廣到疊代函數系統生成的碎形的情況

參考資料

• Template:Citation
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• Template:Citation (In Russian).
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• Template:Citation. (Revised and enlarged second edition to appear in 2005.)
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外部鏈結

• Isospectral Drums Template:Wayback （由特拉華大學的 Toby Driscoll 所寫）
• Some planar isospectral domains Template:Wayback by Peter Buser, John Horton Conway, Peter Doyle, and Klaus-Dieter Semmler
• Drums That Sound Alike by Ivars Peterson at the Mathematical Association of America web site
• Template:MathWorld
• Template:Springer