求和符号

Template:NoteTA Template:Sidebar 求和符号（Template:Lang-en；符號： $\sum$ ，讀作：sigma），是欧拉于1755年首先使用的一个数学符号。这个符号是源自于希腊文 Template:Lang（增加）的字头，Σ正是σ的大写。

求和指的是將給定的數值相加的過程，又稱為加總。求和符號常用來簡化有多個數值相加的數學表達式。

假設有 $n$ 個數值 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，則這 $n$ 個數值的總和 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}$ 可表示為 $\sum_{k = 1}^{n} x_{k}$ 。

用等式來呈現的話就是 $\sum_{k = 1}^{n} x_{k} = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}$ 。

舉例來說，若有4個數值： $x_{1} = 1, x_{2} = 3, x_{3} = 5, x_{4} = 7$ ，則這4個數值的總和為：

$\sum_{k = 1}^{4} x_{k} = x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16$

在數學中，求和是任何類型數字的序列相加，稱為加數或加數；結果是它們的總和或總數。除了數字之外，也可以對其他類型的值求和：函數、向量、矩陣、多項式，以及通常在其上定義了表示為“+”的運算的任何類型的數學物件的元素。

無窮序列的總和稱為級數，它們涉及極限的概念，本條目不予考慮。

顯式序列的總和表示為一連串的加法。例如，[1, 2, 4, 2] 的和記為 1 + 2 + 4 + 2，得到 9，即 1 + 2 + 4 + 2 = 9。因為加法是結合可交換的，所以有不需要括號，無論加法的順序如何，結果都是一樣的。只有一個元素的序列的總和會產生這個元素本身。按照慣例，空序列（沒有元素的序列）的總和結果為 0。

求和方法

裂項法：利用 $a_{k} = b_{k + 1} - b_{k}$ 求出 $\sum_{k = m}^{n} a_{k}$ 。
錯位相減法：透過兩個求和式的相減化簡求和數列的求和方法。
倒序求和：對於有對稱中心的函數 $f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ 首尾求和^[1]^[2]
逐項求導：可從 $\sum_{k = 0}^{n} x^{k} = \frac{x^{n + 1} - 1}{x - 1}$ 推導出 $\sum_{k = 0}^{n} k^{m} x^{k}$ ^[3]
阿貝爾變換：

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} = a_{1} (b_{1} - b_{2}) + (a_{1} + a_{2}) (b_{2} - b_{3}) + \dots + (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1}) (b_{n - 1} - b_{n}) + (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) b_{n}

含多項式求和公式

以下設p為多項式， $\deg p (k) = m, Δ p (k) = p (k + 1) - p (k)$

$\sum p (k)$

$\sum p (k)$ 是對一個多項式求和，自然數方冪和、等幂求和、等差數列求和都屬于對多項式求和。

帕斯卡矩陣形式
$\sum_{k = 1}^{n} p (k) = (\begin{matrix} C_{n}^{1} & C_{n}^{2} & \dots & C_{n}^{m + 1} \end{matrix}) (\begin{matrix} C_{0}^{0} & 0 & \dots & 0 \\ - C_{1}^{0} & C_{1}^{1} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ (- 1)^{m} C_{m}^{0} & (- 1)^{m - 1} C_{m}^{1} & \dots & C_{m}^{m} \end{matrix}) (\begin{matrix} p (1) \\ p (2) \\ ⋮ \\ p (m + 1) \end{matrix})$ ^[4]

差分變換形式
$p (k) = \sum_{j = 1}^{m + 1} C_{k - 1}^{j - 1} Δ^{j - 1} p (1)$

$\sum_{k = 1}^{n} p (k) = \sum_{j = 1}^{m + 1} C_{n}^{j} Δ^{j - 1} p (1)$ ^[5]

Template:Collapsible list

$\sum u_{k} v_{k} x^{k}$

當 $u_{k} = p (k)$ 為多項式， $\sum_{l = 0}^{\infty} v_{l} x^{l}$ 易求高階導數時， $\sum_{k = 0}^{\infty} u_{k} v_{k} x^{k}$ 有封閉型和式

\sum_{k = 0}^{\infty} u_{k} v_{k} x^{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{Δ^{k} u_{0} x^{k}}{k!} \frac{d^{k}}{d x^{k}} (\sum_{l = 0}^{\infty} v_{l} x^{l})

^[6]

$\sum p (k) q^{k}$

$u_{k} = p (k), v_{k} = 1, x = q, \sum u_{k} v_{k} x^{k} = \sum p (k) q^{k}$
有限和 $\sum_{k = 1}^{n} p (k) q^{k - 1}$ 有封閉型和式

當p為常數時，是對等比數列求和，當p為一次多項式時，是對差比數列求和。

$\sum_{k = 1}^{n} p (k) q^{k - 1} = f (n) q^{n} - f (0)$

$f (n) = \frac{p (n)}{q - 1} + \frac{1}{(q - 1)^{2}} \sum_{k = 1}^{m} \frac{(- 1)^{k} q^{k - 1}}{(q - 1)^{k - 1}} Δ^{k} (p (n)) = \frac{1}{q - 1} \sum_{k = 0}^{m} (\frac{- q}{q - 1})^{k} Δ^{k} p (n + 1)$ ^[4]

Template:Collapsible list

$\sum \frac{p (k)}{k!} x^{k}$

$u_{k} = p (k), v_{k} = \frac{1}{k!}, \sum u_{k} v_{k} x^{k} = \sum \frac{p (k)}{k!} x^{k}$
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{p (n)}{n!} x^{n} = e^{x} \sum_{k = 0}^{m} \frac{Δ^{k} p (0)}{k!} x^{k}$ ^[7]

$\sum H_{k} p (k)$

$\sum_{k = 1}^{n} H_{k} p (k) = (\sum_{j = 0}^{m} C_{n + 1}^{j + 1} Δ^{j} p (0)) H_{n} - \sum_{j = 0}^{m} \frac{C_{n}^{j + 1}}{j + 1} Δ^{j} p (0)$ ，其中 $H_{n}$ 為調和數或調和級數

組合數求和公式

Template:Main

一阶求和公式

$\sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) = 2^{n}$
$\sum_{r = 0}^{n - k} \frac{(- 1)^{r} (n + 1)}{k + r + 1} (\binom{n - k}{r}) = {(\binom{n}{k})}^{- 1}$
$\sum_{r = 0}^{n} (\binom{d n}{d r}) = \frac{1}{d} \sum_{r = 1}^{d} (1 + e^{\frac{2 π r i}{d}})^{d n}$ ^{[参 1]}

$F_{n} = \sum_{i = 0}^{\infty} (\binom{n - i}{i})$ ^{[参 2]}

F_{n - 1} + F_{n} = \sum_{i = 0}^{\infty} (\binom{n - 1 - i}{i}) + \sum_{i = 0}^{\infty} (\binom{n - i}{i}) = 1 + \sum_{i = 1}^{\infty} (\binom{n - i}{i - 1}) + \sum_{i = 1}^{\infty} (\binom{n - i}{i}) = 1 + \sum_{i = 1}^{\infty} (\binom{n + 1 - i}{i}) = \sum_{i = 0}^{\infty} (\binom{n + 1 - i}{i}) = F_{n + 1}

Template:Main

$\sum_{i = m}^{n} (\binom{i}{a}) = (\binom{n + 1}{a + 1}) - (\binom{m}{a + 1})$

(\binom{m}{a + 1}) + (\binom{m}{a}) + (\binom{m + 1}{a}) . . . + (\binom{n}{a}) = (\binom{n + 1}{a + 1})

\sum_{i = m}^{n} (\binom{k_{1} + i}{k_{2}}) = (\binom{k_{1} + n + 1}{k_{2} + 1}) - (\binom{k_{1} + m}{k_{2} + 1})

\sum_{i = m}^{n} (\binom{k_{1} + i}{k_{2} + i}) = (\binom{k_{1} + n + 1}{k_{2} + n}) - (\binom{k_{1} + m}{k_{2} + m - 1})

二阶求和公式

$\sum_{r = 0}^{n} {(\binom{n}{r})}^{2} = (\binom{2 n}{n})$
$\sum_{i = 0}^{n} (\binom{r_{1} + n - 1 - i}{r_{1} - 1}) (\binom{r_{2} + i - 1}{r_{2} - 1}) = (\binom{r_{1} + r_{2} + n - 1}{r_{1} + r_{2} - 1})$ ^{[参 3]}

(1 - x)^{- r_{1}} (1 - x)^{- r_{2}} = (1 - x)^{- r_{1} - r_{2}}

(1 - x)^{- r_{1}} (1 - x)^{- r_{2}} = (\sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{r_{1} + n - 1}{r_{1} - 1}) x^{n}) (\sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{r_{2} + n - 1}{r_{2} - 1}) x^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{i = 0}^{n} (\binom{r_{1} + n - 1 - i}{r_{1} - 1}) (\binom{r_{2} + i - 1}{r_{2} - 1})) x^{n}

(1 - x)^{- r_{1} - r_{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{r_{1} + r_{2} + n - 1}{r_{1} + r_{2} - 1}) x^{n}

Template:Main

$\sum_{i = 0}^{k} (\binom{n}{i}) (\binom{m}{k - i}) = (\binom{n + m}{k})$

范德蒙恒等式與超幾何函數有關係：

\sum_{i = 0}^{k} (\binom{n}{i}) (\binom{m}{k - i}) = \frac{m!}{k! (m - k)!}_{2} F_{1} (- n, - k; m - k + 1; 1) = (\binom{n + m}{k})

三阶求和公式

Template:Main

${(\binom{n + k}{k})}^{2} = \sum_{j = 0}^{k} {(\binom{k}{j})}^{2} (\binom{n + 2 k - j}{2 k})$

范德蒙恒等式與廣義超幾何函數有關係：

\sum_{j = 0}^{k} {(\binom{k}{j})}^{2} (\binom{n + 2 k - j}{2 k}) = \frac{(n + 2 k)!}{(2 k)! n!}_{3} F_{2} (- k, - k, - n; 1, - n - 2 k; 1) = {(\binom{n + k}{k})}^{2}

定積分判斷總和界限

當 $f (x)$ 在[a,b]單調遞增時：

f (a) + \int_{a}^{b} f (x) d x \leq \sum_{x = a}^{b} f (x) \leq f (b) + \int_{a}^{b} f (x) d x

當 $f (x)$ 在[a,b]單調遞減時：

f (b) + \int_{a}^{b} f (x) d x \leq \sum_{x = a}^{b} f (x) \leq f (a) + \int_{a}^{b} f (x) d x

^[8]

求和函数

以 $\sum_{i = 1}^{n} i^{9}$ 为例：

Matlab

syms k n;symsum(k^9,k,1,n)

Mathematica

 In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}]
 Out[1]:=  $\frac{1}{20} n^{2} (n + 1)^{2} (n^{2} + n - 1) (2 n^{4} + 4 n^{3} - n^{2} - 3 n + 1)$

参考资料

Template:Reflist Template:Reflist Template:Wikibooks

引用错误：名称为“参”的group（分组）存在<ref>标签，但未找到对应的<references group="参"/>标签

[1] Template:Cite journal

[2] Template:Cite journal

[3] Template:Cite journal

[#1-4] 4.0 ^4.1 Template:Cite journal

[5] Template:Cite book

[6] Template:Cite book

[7] Template:Cite journal

[11] Template:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[参 1]

[参 2]

[参 3]

[8]

求和符号

目录

求和方法

含多項式求和公式

$\sum p (k)$

$\sum u_{k} v_{k} x^{k}$

$\sum p (k) q^{k}$

$\sum \frac{p (k)}{k!} x^{k}$

$\sum H_{k} p (k)$

組合數求和公式

一阶求和公式

二阶求和公式

三阶求和公式

定積分判斷總和界限

求和函数

参考资料

导航菜单

求和符号

求和方法

含多項式求和公式

∑p(k)

∑ukvkxk

∑p(k)qk

∑p(k)k!xk

∑Hkp(k)

組合數求和公式

一阶求和公式

二阶求和公式

三阶求和公式

定積分判斷總和界限

求和函数

参考资料

导航菜单

搜索

$\sum p (k)$

$\sum u_{k} v_{k} x^{k}$

$\sum p (k) q^{k}$

$\sum \frac{p (k)}{k!} x^{k}$

$\sum H_{k} p (k)$