莫爾圓

圖1：三維應力下的莫爾圓

莫爾圓（Mohr's circle）得名自德國土木工程師Template:Le，是一種用二維方式表示柯西应力张量轉換關係的圖。

先針對假設為連續的物體進行Template:Le，之後特定一點的柯西应力张量分量會和坐標系有關。莫爾圓是用圖形的方法去確認一個旋轉坐標系上的應力分量，也就是在同一點上，但是作用在不同方向平面上的分量。

圓上每一個點的橫坐標${\sigma }_{\mathrm{n}}$及縱坐標${\tau }_{\mathrm{n}}$都是在這個旋轉坐標系統上某一個方向的正應力及剪應力。換句話說，莫爾圓表示了在所有方向平面上應力狀態的軌跡，而X軸和Y軸為應力元素的主軸。

Template:Le是第一個想到用圖形來表示應力的人，他是在分析水平樑承受彎曲時的縱向應力及垂直應力時所想到的。莫爾的貢獻不止是用莫爾圓表示二維及三維的應力，他也根據莫爾圓發展了結構失效判定的準則。

其他表示應力狀態的方式有Template:Le及柯西應力二次曲線（Cauchy's stress quadric）。

莫爾圓可以擴展到對稱的 2x2 張量，包括應變及轉動慣量張量。

應力及莫爾圓

圖2：在有受力可變形物體（假設為連續體）中的應力F

考慮一個會變形的物體（假設為連續體），若受到外力（可能是表面力或是Template:Le），物體的內部就會有力的分布。物體內部的力會依循歐拉運動定律，正如物體受力依循牛頓運動定律一様。物體內部力的強度可以用應力來表示。因為物體假設為連續體，其內部的力也是會均勻分佈在其體積中。

在工程中（例如結構工程、機械工程或土力工程）會透過Template:Le來分析一物體中應力的的分佈，例如隧道中岩石的應力，飛機機翼的應力，或是建築物中樑柱的應力等。計算應力分布也就表示要知道物體中每一點的應力。據奧古斯丁·路易·柯西的理論，（假設為連續體的）物體中任何一點的應力（圖2），可以完全由二階Template:Le的張量中的九個應力元素 ${\sigma }_{ij}$完全決定，此二階張量稱為柯西应力张量, $\mathit{\sigma }$:

$\mathit{\sigma }=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right]\equiv \left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\sigma }_{xy}& {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{yx}& {\sigma }_{yy}& {\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{zx}& {\sigma }_{zy}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right]\equiv \left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z\end{array}\right]$

圖3：連續體中的一點在平面應力條件下的應力轉換

若確定了一物體在特定坐標系統$(x,y)$下的應力分佈，有可能需要知道特定一點$P$相對另一個有旋轉的坐標系統$(x^{\prime },y^{\prime })$下的應力張量，也就是在需要關注的點，在特定角度下的的應力張量。而此坐標系統$(x^{\prime },y^{\prime })$和原有的坐標系統$(x,y)$之間有一個角度差（圖3）。例如，一般會需要知道最大的正向應力以及最大的剪應力，也需要知道其對應的方向。因此，需要發展一種張量轉換的方式，可以配合坐標系統的旋轉得到新坐標系統的張量。依照張量的定義，柯西应力张量遵守張量轉換定律。應力的莫爾圓是用圖解方式來說明柯西应力张量轉換定律的方式。

二維張量下的莫爾圓

圖4：連續體中的一點在平面應力條件下的應力分量

在二維下，一點$P$相對于垂直方向的應力張量可以用三個應力向量完全表示。在垂直坐標系統$(x,y)$下，其應力分量為：法向應力${\sigma }_x$及${\sigma }_y$，以及剪應力${\tau }_{xy}$。由於角動量守恆，柯西應力張量會有對稱性，也就是${\tau }_{xy}={\tau }_{yx}$，因此柯西應力張量可以寫成：

$\mathit{\sigma }=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& 0\\ {\tau }_{xy}& {\sigma }_y& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\equiv \left[\begin{array}{cc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}\\ {\tau }_{xy}& {\sigma }_y\end{array}\right]$

其目的是在另一個通過$P$點，但存在角度差的坐標系統$(x^{\prime },y^{\prime })$下，找到應力分量${\sigma }_{\mathrm{n}}$及${\tau }_{\mathrm{n}}$（圖4）。坐標系統$(x^{\prime },y^{\prime })$和原坐標系統$(x,y)$的角度差即為$\theta$。

莫爾圓的方程

要推導二維平面應力及平面應變的莫爾圓方程，先考慮一個位在位置$P$的二維的無限小方形元素（圖4），和$y$-$z$平面平行。

利用無限小元素上的力平衡，正向應力${\sigma }_{\mathrm{n}}$及剪應力${\tau }_{\mathrm{n}}$的大小為：

${\sigma }_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}({\sigma }_x+{\sigma }_y)+\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)\cos 2\theta +{\tau }_{xy}\sin 2\theta$

${\tau }_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)\sin 2\theta +{\tau }_{xy}\cos 2\theta$

莫爾圓參數式的推導－利用力平衡

利用${\sigma }_{\mathrm{n}}$方向（$x^{\prime }$軸）的力平衡（圖4），而且假設${\sigma }_{\mathrm{n}}$ 作用的面積為$dA$，可得： $\begin{array}{cc}\sum F_{x^{\prime }}& ={\sigma }_{\mathrm{n}}dA-{\sigma }_{x}dA{\cos }^2\theta -{\sigma }_{y}dA{\sin }^2\theta -{\tau }_{xy}dA\cos \theta \sin \theta -{\tau }_{xy}dA\sin \theta \cos \theta =0\\ {\sigma }_{\mathrm{n}}& ={\sigma }_x{\cos }^2\theta +{\sigma }_y{\sin }^2\theta +2{\tau }_{xy}\sin \theta \cos \theta \\ \end{array}$ 再考慮以下的關係 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2},{\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$ 及 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 可以得到 ${\sigma }_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}({\sigma }_x+{\sigma }_y)+\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)\cos 2\theta +{\tau }_{xy}\sin 2\theta$ 再考慮${\tau }_{\mathrm{n}}$方向（$y^{\prime }$軸）的力平衡（圖4），再假設 ${\tau }_{\mathrm{n}}$作用的面積是$dA$，可得： $\begin{array}{cc}\sum F_{y^{\prime }}& ={\tau }_{\mathrm{n}}dA+{\sigma }_{x}dA\cos \theta \sin \theta -{\sigma }_{y}dA\sin \theta \cos \theta -{\tau }_{xy}dA{\cos }^2\theta +{\tau }_{xy}dA{\sin }^2\theta =0\\ {\tau }_{\mathrm{n}}& =-({\sigma }_x-{\sigma }_y)\sin \theta \cos \theta +{\tau }_{xy}({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )\\ \end{array}$ 再考慮以下的關係 ${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\cos 2\theta$ 及 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 可以得到 ${\tau }_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)\sin 2\theta +{\tau }_{xy}\cos 2\theta$

上述二個方程也可以用柯西應力張量的張量變換定律來求得，這和在${\sigma }_{\mathrm{n}}$及${\tau }_{\mathrm{n}}$方向用力平衡計算是等效的。

莫爾圓參數式的推導－利用張量變換

應力張量變換定律可以表示為 $\begin{array}{cc}{\mathit{\sigma }}^{\prime }& =𝐀\mathit{\sigma }{𝐀}^T\\ \left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{x^{\prime }}& {\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}\\ {\tau }_{y^{\prime }{x}^{\prime }}& {\sigma }_{y^{\prime }}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{a}_x& a_{xy}\\ a_{yx}& a_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{a}_x& a_{yx}\\ a_{xy}& a_y\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\end{array}$ 將等號右側展開，再配合${\sigma }_{x^{\prime }}={\sigma }_{\mathrm{n}}$及${\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}={\tau }_{\mathrm{n}}$，可得： ${\sigma }_{\mathrm{n}}={\sigma }_x{\cos }^2\theta +{\sigma }_y{\sin }^2\theta +2{\tau }_{xy}\sin \theta \cos \theta$ 再加上以下的條件 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2},{\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$ 及$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 可得 ${\sigma }_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}({\sigma }_x+{\sigma }_y)+\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)\cos 2\theta +{\tau }_{xy}\sin 2\theta$ ${\tau }_{\mathrm{n}}=-({\sigma }_x-{\sigma }_y)\sin \theta \cos \theta +{\tau }_{xy}({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )$ 再加上以下的條件 ${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\cos 2\theta$ 及$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 可得 ${\tau }_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)\sin 2\theta +{\tau }_{xy}\cos 2\theta$ 此時不需要計算${\sigma }_{x^{\prime }}$垂直的應力成份${\sigma }_{y^{\prime }}$，因為在推導莫爾圓時還不需要此成份

這二個方程是莫爾圓的參數式。在方程中，$2\theta$為參數，而${\sigma }_{\mathrm{n}}$和${\tau }_{\mathrm{n}}$為坐標，因此表示若選擇適當的坐標系統，使${\sigma }_{\mathrm{n}}$為橫軸，${\tau }_{\mathrm{n}}$縱軸，給定參數$\theta$，會給定在莫爾圓上的一點。

若從參數式中消去參數$2\theta$，可以得到非參數式的莫爾圓方程。可以用重組${\sigma }_{\mathrm{n}}$及${\tau }_{\mathrm{n}}$的方程來達到。先將第一式等號右側的第一項移到等號左邊，二式平方後相加，可得

$\begin{array}{cc}{[{\sigma }_{\mathrm{n}}-\frac{1}{2}({\sigma }_x+{\sigma }_y)]}^2+{\tau }_{\mathrm{n}}^2& ={[\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)]}^2+{\tau }_{xy}^2\\ ({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}{)}^2+{\tau }_{\mathrm{n}}^2& =R^2\end{array}$

其中

$R=\sqrt{{[\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)]}^2+{\tau }_{xy}^2}\text{and}{\sigma }_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}=\frac{1}{2}({\sigma }_x+{\sigma }_y)$

這就是圓（莫爾圓）的方程

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

在$({\sigma }_{\mathrm{n}},{\tau }_{\mathrm{n}})$坐標系統中，其半徑$r=R$，圓心在坐標$(a,b)=({\sigma }_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}},0)$處。

符號體系

在使用莫爾圓時，需考慮兩組分別的符號體系，一個是針對實體空間下應力分量的符號體系，另一個是針對「莫爾圓空間」下應力分量的符號體系。此外，工程力學（結構工程及機械工程）文獻用的體系和地質力學用的符號體系不同。沒有所有系統都適用的標準符號體系，是否要使用特定的符號體系取決於計算及詮釋特定問題的方便程度。

上述圖4的莫爾圓推導都是使用工程力學的符號體系，以下也會繼續使用工程力學的符號體系。

實體空間符號體系

為了描述柯西應力張量的方便（圖3及圖4），應力分量的第一個下標表示應力分量作用的面，第二個下標表示應力分量的方向。因此${\tau }_{xy}$是作用在以$x$軸正向為其法向量的平面上，而方向是往$y$軸的正方向。

在實體空間符號體系，正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力）（圖5）。

在實體空間符號體系中，正剪應力在法向量為正的材料元素平面上，其作用方向會往軸的正方向，同樣的，正剪力在法向量為負的材料元素平面上，其作用方向會往軸的負方向。例如作用在正向平面的剪應力${\tau }_{xy}$和${\tau }_{yx}$為正，因為這二個剪應力的作用方向往$y$軸及$x$軸的正方向（圖3）。而相對應的作用在負向平面的剪應力${\tau }_{xy}$和${\tau }_{yx}$，其作用方向往$y$軸及$x$軸的負方向，因此這二個剪應力也為正。

莫爾圓空間符號體系

圖5 繪制莫爾圓時，工程力學符號體系下的應力。此條目會依照圖中的符號體系 # 3

在莫爾圓空間符號體系中，應力的符號體系和實體空間符號體系中的相同：正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力）

不過剪應力的符號體系和實體空間符號體系中的不同。在莫爾圓空間符號體系中，正的剪應力會使材料往逆時針方向旋轉，而負的剪應力會使材料往順時針方向旋轉。因此在莫爾圓空間中，剪應力分量${\tau }_{xy}$為正，而${\tau }_{yx}$為負。這和實體空間符號體系中${\tau }_{xy}$和${\tau }_{yx}$符號相同的情形不同。

在繪製莫爾圓時，有二個作法可以繪製在數學上正確的莫爾圓：

1. 將正的剪應力畫在上方（圖5，符號體系#1）
2. 將正的剪應力畫在下方，也就是${\tau }_{\mathrm{n}}$軸倒置（圖5，符號體系#2）

將正的剪應力畫在上方會讓莫爾圓上的$2\theta$角為正值時，旋轉方向是順時針旋轉，這和實體空間符號體系中的相反。因此有些作者會選擇讓正的剪應力畫在下方，這會讓莫爾圓上的$2\theta$角為正值時，旋轉方向是逆時針旋轉，類似實體空間符號體系的情形。

為了克服剪應力軸往下才是正向的問題，有另外一種「替代的」符號體系，其中正的剪應力假設為將材料將順時針方向旋轉，而負的剪應力假設為將材料將逆時針方向旋轉（圖5，符號體系#3）。在「替代」體系下，正的剪應力軸往上，而且在莫爾圓上$2\theta$為正值時，旋轉方向為逆時針。此符號體系產生的莫爾圓和圖5，符號體系#2中的相同，因為正的剪應力${\tau }_{\mathrm{n}}$也是會逆時針旋轉的剪應力，也畫在下方。而負的剪應力${\tau }_{\mathrm{n}}$也是會順時針旋轉的剪應力，也畫在上方。

此條目在實體空間符號體系中，會依照工程力學的符號體系，而在莫爾圓空間中，會使用「替代的」符號體系（圖5，符號體系#3）。

繪製莫爾圓

圖6：在平面應力及平面應變的條件下繪製莫爾圓（二倍角的作法）
在應力分析後，可以找到材料中一點$P$上的應力分量${\sigma }_x$、${\sigma }_y$及${\tau }_{xy}$。應力分量作用在二個互相垂直的$A$平面及$B$平面，兩者都通過$P$點。莫爾圓上$A$點和 $B$點的坐標是在$A$平面及$B$平面上的應力分量。因此可以用莫爾圓找到應力分量${\sigma }_{\mathrm{n}}$及${\tau }_{\mathrm{n}}$，也就是在同一點上，但作用在其他平面$D$上的應力分量。$\overline{OB}$線和$\overline{OD}$線之間的夾角是通過$P$點的平面$B$和平面$D$的法向量的夾角

假設已知待研究物體上的點$P$的應力分量${\sigma }_x$、${\sigma }_y$及${\tau }_{xy}$，如圖4所示。以下方法可以繪製點$P$的莫爾圓，以表示其應力狀態。

1. 繪制笛卡爾坐標系統$({\sigma }_{\mathrm{n}},{\tau }_{\mathrm{n}})$，橫軸為${\sigma }_{\mathrm{n}}$，縱軸為${\tau }_{\mathrm{n}}$。
2. 在$({\sigma }_{\mathrm{n}},{\tau }_{\mathrm{n}})$空間中，畫出二點$A({\sigma }_y,{\tau }_{xy})$及$B({\sigma }_x,-{\tau }_{xy})$，分別是作用在二垂直平面$A$平面和 $B$平面上的應力分量（圖4及圖6），需依照選擇的符號體系。
3. 用線段$\overline{AB}$連接$A$點和$B$點，此即為圓的直徑。
4. 繪製莫爾圓，其圓心$O$是線段$\overline{AB}$的中點，也就是此線和${\sigma }_{\mathrm{n}}$軸的交點。

找主要正向應力

主要應力的大小是點$C$和點$E$（圖6中圓和 ${\sigma }_{\mathrm{n}}$軸的交點）中的橫坐標。最大正向應力${\sigma }_1$的大小恆為這二個橫坐標中最大的那一個，而${\sigma }_2$最小正向應力的大小恆為這二個橫坐標中最小的那一個。這二個點的縱坐標為0，對應在主要平面上的剪應力為零，主要應力的大小也可以表示為

${\sigma }_1={\sigma }_{\max }={\sigma }_{\text{avg}}+R$

${\sigma }_2={\sigma }_{\min }={\sigma }_{\text{avg}}-R$

其中平均正向應力${\sigma }_{\text{avg}}$的大小是圓心$O$的橫坐標，為

${\sigma }_{\text{avg}}=\frac{1}{2}({\sigma }_x+{\sigma }_y)$

其半徑的長度$R$為

$R=\sqrt{{[\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)]}^2+{\tau }_{xy}^2}$

找最大和最小剪應力

最大剪應力和最小剪應力對應圓上最大及最小的縱坐標。這二個點是圓和通過圓心$O$的垂直線的交點。因此，最大和最小剪應力的大小為圓的半徑$R$

${\tau }_{\max ,\min }=\pm R$

找任意平面的應力分量

如前面所述，在二維應力分析後，可以知道在材料某一點$P$上的應力分量${\sigma }_x$、${\sigma }_y$及 ${\tau }_{xy}$。這些應力分量作用在通過$P$點的二垂直平面 $A$ 及 $B$，如圖5及圖6所述。莫爾圓也可以計算在莫爾圓上$D$的應力分量${\sigma }_{\mathrm{n}}$及${\tau }_{\mathrm{n}}$，事實是作用在$D$平面上，此平面也通過$P$點，和$B$平面有夾角$\theta$，計算應力分量有二種方式：倍角法以及平面原點法（origin of planes）

倍角法

如圖6所示，若平面$D$是平面$B$再逆時針旋轉角度$\theta$後的平面，要找到在平面$D$上的應力分量$({\sigma }_{\mathrm{n}},{\tau }_{\mathrm{n}})$，可以在莫爾圓上從已知應力點 $B({\sigma }_x,-{\tau }_{xy})$同樣以逆時針旋轉，但旋轉角度 $2\theta$，旋轉到點$D({\sigma }_{\mathrm{n}},{\tau }_{\mathrm{n}})$，也就是讓$\overline{OB}$線和$\overline{OD}$線之間的夾角是$2\theta$。

倍角法的作法源自於通過$P$點的二實際平面之間的夾角$\theta$（圖4），是其對應應力點 $({\sigma }_{\mathrm{n}},{\tau }_{\mathrm{n}})$在莫爾圓上和圓心連線形成夾角的一半。

倍角關係是因為莫爾圓的參數式是$2\theta$的函數。也可以從在材料點 $P$上的平面$A$和$B$夾角是90度，而在莫爾圓上其應力點夾角為180度看出（90度的兩倍）。

極點法（或平面原點法）

圖7：平面應力及應變的莫爾圓（極點法）。從極點畫的任何直線都會和莫爾圓相交，交點表示在和直線相同角度平面上的應力狀態

第二種方式和要找到莫爾圓上的一個點，稱為極點（pole）或是平面原點（origin of planes）。從極點畫的任何直線都會和莫爾圓相交，交點表示在和直線相同角度的平面上的應力狀態。因此若知道任何特定平面上的應力分量$\sigma$及$\tau$，可以畫一條線通過莫爾圓上的 ${\sigma }_{\mathrm{n}}$和${\tau }_{\mathrm{n}}$，且和平面平行，找到莫爾圓上這些線的交點，即為極點。例如，假設有應力狀態如圓7所示，其分量是${\sigma }_x,$, ${\sigma }_y,$及${\tau }_{xy},$。首先先從$B$點畫一條線，平行${\sigma }_x$的作用平面，或是從$A$點畫一條線，平行${\sigma }_y$的作用平面，任一條線都會和莫爾圓交會，交會的點即為極點。在找到極點後，若要找到和垂直有$\theta$夾角的平面上的應力，可以從極點畫一條平行該平面的線（見圖7）。可以根據直線和莫爾圓的交點找到平面上的正向應力以及剪應力。

找主要平面的方向

最大主要應力及最小主要應力所在的平面方向也稱為主要平面（principal planes），可以用莫爾圓中 的∠BOC及∠BOE判斷，然後將二個角度都取一半。因此$\overline{OB}$和$\overline{OC}$之間的夾角是角∠BOC，是${\theta }_p$（主要平面和平面$B$夾角）角度的二倍。

而${\theta }_{p1}$和${\theta }_{p2}$也可以用以下的方程取得

$\tan 2{\theta }_{\mathrm{p}}=\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_x-{\sigma }_y}$

此方程的解會是二個角度，彼此相差$90^{\circ }$。可以直接用圓的幾何求解此方程，或是用圓的參數式，並且讓${\tau }_{\mathrm{n}}$等於零（主要平面上的剪應力為0）。

一般三維應力下的莫爾圓

圖10 三維應力下的莫爾圖

若要繪製三維應力下的莫爾圖，需要先量測其主應力的大小$({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)$以及方向$(n_1,n_2,n_3)$。

考慮以主應力軸為坐標系統，而不是用$x_1$, $x_2$, $x_3$坐標系統，並且假設${\sigma }_1>{\sigma }_2>{\sigma }_3$，則在一法向量為 $𝐧$的平面，其應力向量${𝐓}^{(𝐧)}$的應力分量及剪力分量會滿足下式

$\begin{array}{cc}{\left(T^{(n)}\right)}^2& ={\sigma }_{ij}{\sigma }_{ik}{n}_j{n}_k\\ {\sigma }_{\mathrm{n}}^2+{\tau }_{\mathrm{n}}^2& ={\sigma }_1^2{n}_1^2+{\sigma }_2^2{n}_2^2+{\sigma }_3^2{n}_3^2\end{array}$

${\sigma }_{\mathrm{n}}={\sigma }_1{n}_1^2+{\sigma }_2{n}_2^2+{\sigma }_3{n}_3^2.$

由於$n_i{n}_i=n_1^2+n_2^2+n_3^2=1$，可以用高斯消去法求解$n_1^2$, $n_2^2$, $n_3^2$：

$\begin{array}{cc}{n}_1^2& =\frac{{\tau }_{\mathrm{n}}^2+({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_2)({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_3)}{({\sigma }_1-{\sigma }_2)({\sigma }_1-{\sigma }_3)}\ge 0\\ n_2^2& =\frac{{\tau }_{\mathrm{n}}^2+({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_3)({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_1)}{({\sigma }_2-{\sigma }_3)({\sigma }_2-{\sigma }_1)}\ge 0\\ n_3^2& =\frac{{\tau }_{\mathrm{n}}^2+({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_1)({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_2)}{({\sigma }_3-{\sigma }_1)({\sigma }_3-{\sigma }_2)}\ge 0.\end{array}$

因為${\sigma }_1>{\sigma }_2>{\sigma }_3$及$(n_i{)}^2$都不是負值，因此其分子滿足

${\tau }_{\mathrm{n}}^2+({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_2)({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_3)\ge 0$ 因為其分母${\sigma }_1-{\sigma }_2>0$而且${\sigma }_1-{\sigma }_3>0$

${\tau }_{\mathrm{n}}^2+({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_3)({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_1)\le 0$ 因為其分母${\sigma }_2-{\sigma }_3>0$而且${\sigma }_2-{\sigma }_1<0$

${\tau }_{\mathrm{n}}^2+({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_1)({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_2)\ge 0$ 因為其分母${\sigma }_3-{\sigma }_1<0$而且${\sigma }_3-{\sigma }_2<0.$

方程式可以寫成

$\begin{array}{c}{\tau }_{\mathrm{n}}^2+{[{\sigma }_{\mathrm{n}}-\frac{1}{2}({\sigma }_2+{\sigma }_3)]}^2\ge {(\frac{1}{2}({\sigma }_2-{\sigma }_3))}^2\\ {\tau }_{\mathrm{n}}^2+{[{\sigma }_{\mathrm{n}}-\frac{1}{2}({\sigma }_1+{\sigma }_3)]}^2\le {(\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_3))}^2\\ {\tau }_{\mathrm{n}}^2+{[{\sigma }_{\mathrm{n}}-\frac{1}{2}({\sigma }_1+{\sigma }_2)]}^2\ge {(\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_2))}^2\\ \end{array}$

是三個應力莫爾圓$C_1$, $C_2$和$C_3$的方程，其半徑分別是$R_1=\frac{1}{2}({\sigma }_2-{\sigma }_3)$, $R_2=\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_3)$及$R_3=\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_2)$，而其圓心分別在$[\frac{1}{2}({\sigma }_2+{\sigma }_3),0]$, $[\frac{1}{2}({\sigma }_1+{\sigma }_3),0]$, $[\frac{1}{2}({\sigma }_1+{\sigma }_2),0]$。

有了上述三個應力莫爾圓的方程，所有可能的應力點$({\sigma }_{\mathrm{n}},{\tau }_{\mathrm{n}})$都會在三個應力莫爾圓之間的陰影區域（見圖10）。應力點$({\sigma }_{\mathrm{n}},{\tau }_{\mathrm{n}})$ 可能滿足圓$C_1$的方程，或是在圓$C_1$的外面，可能滿足圓$C_2$的方程，或是在圓$C_2$的裡面，可能滿足圓$C_3$的方程，或是在圓$C_3$的外面。

相關條目

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參考資料

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外部連結

• Mohr's Circle and more circles by Rebecca Brannon Template:Wayback
• DoITPoMS Teaching and Learning Package- "Stress Analysis and Mohr's Circle" Template:Wayback