歐拉運動定律

莱昂哈德·欧拉

歐拉運動定律（Template:Lang）是牛頓運動定律的延伸，可以應用於多粒子系統運動或剛體運動，描述多粒子系統運動或剛體的平移運動、旋轉運動分別與其感受的力、力矩之間的關係。在艾薩克·牛頓發表牛頓運動定律之後超過半個世紀，於1750年，萊昂哈德·歐拉才成功地表述了這定律。

剛體也是一種多粒子系統，但理想剛體是一種有限尺寸，可以忽略形變的固體。不論是否感受到作用力，在剛體內部，點與點之間的距離都不會改變。

歐拉運動定律也可以加以延伸，應用於可變形體內任意部分的平移運動與旋轉運動。

剛體

歐拉第一運動定律

歐拉第一定律表明，從某慣性參考系觀測，施加於剛體的淨外力，等於剛體質量與質心加速度的乘積。歐拉第一定律以方程式表達為

${𝐅}^{(ext)}=m{𝐚}_{cm}$ ；

其中，${𝐅}^{(ext)}$ 是剛體感受到的淨外力，$m$ 、${𝐚}_{cm}$ 分別是剛體的質量、質心加速度。

剛體的平移運動等同於位於其質心、具有其質量的粒子，感受到同樣的淨外力，而呈現的運動。

導引

思考由 $n$ 個粒子組成的多粒子系統，其質心位置 ${𝐫}_{cm}$ 為

${𝐫}_{cm}\stackrel{def}{=}\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{𝐫}_i}{m}$ ;

其中，$m_i$ 、${𝐫}_i$ 分別為第 $i$ 個粒子的質量、位置，$m=\sum _{i=1}^n{m}_i$ 是系統的質量。

質心速度 ${𝐯}_{cm}$ 為

${𝐯}_{cm}=\frac{\mathrm{d}{𝐫}_{cm}}{\mathrm{d}t}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{𝐯}_i}{m}$ ；

其中，${𝐯}_i=\frac{\mathrm{d}{𝐫}_i}{\mathrm{d}t}$ 是第 $i$ 個粒子的速度。

質心加速度 ${𝐚}_{cm}$ 為

${𝐚}_{cm}=\frac{\mathrm{d}{𝐯}_{cm}}{\mathrm{d}t}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{𝐚}_i}{m}$ ；

其中，${𝐚}_i=\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{𝐫}_i}{\mathrm{d}{t}^2}$ 是第 $i$ 個粒子的加速度。

第 $i$ 個粒子感受到的力 ${𝐅}_i$ 為

${𝐅}_i={𝐅}_i^{(ext)}+\sum _{j=1,j\ne i}^n{𝐅}_{ji}$ ；

其中，${𝐅}_i^{(ext)}$ 是這粒子感受到的外力，${𝐅}_{ji}$ 是第 $j$ 個粒子施加於第 $i$ 個粒子的內力。

系統感受到的淨力 $𝐅$ 是所有粒子感受到的力的向量和：

$𝐅=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i^{(ext)}+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1,j\ne i}^n{𝐅}_{ji}$ 。

根據牛頓第三定律，內力與其反作用力的關係為

${𝐅}_{ji}=-{𝐅}_{ji}$ 。

所以，所有粒子彼此施加於對方的內力的向量和為零，淨力等於所有外力的向量和 （淨外力 ${𝐅}^{(ext)}$ ）：

$𝐅=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i^{(ext)}={𝐅}^{(ext)}$ 。

根據牛頓第二定律，第 $i$ 個粒子感受到的力 ${𝐅}_i$ 與這粒子的加速度之間的關係為

${𝐅}_i=m_i{𝐚}_i$ 。

總和所有粒子所感受到的力，

$𝐅=\sum _{i=1}^n{𝐅}_i=\sum _{i=1}{m}_i{𝐚}_i=m{𝐚}_{cm}$ 。

所以，淨外力 ${𝐅}^{(ext)}$ 與質心加速度的關係為

${𝐅}^{(ext)}=m{𝐚}_{cm}$ 。

動量守恆定律

多粒子系統的動量 $𝐩$ 是組成這系統的所有粒子的動量的向量和：

$𝐩=\sum _{i=1}^n{𝐩}_i=\sum _{i=1}^n{m}_i{𝐯}_i=m{𝐯}_{cm}$ ；

其中，${𝐩}_i$ 是第 $i$ 個粒子的動量。

歐拉第一定律又可以表達為

${𝐅}^{(ext)}=\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}$ 。

假設淨外力為零，則系統的動量守恆。

歐拉第二運動定律

歐拉第二定律表明，設定某慣性參考系的固定點O（例如，原點）為參考點，施加於剛體的淨外力矩，等於角動量的時間變化率。歐拉第二定律以方程式表達為

${\mathit{\tau }}_O^{(ext)}=\frac{\mathrm{d}{𝐋}_O}{\mathrm{d}t}$ ；

其中，${\mathit{\tau }}_O^{(ext)}$ 是對於點O淨外力矩，${𝐋}_O$ 是對於點O的角動量。

導引

思考由 $n$ 個粒子組成的多粒子系統。對於點O，第 $i$ 個粒子的角動量 ${𝐋}_i$ 為

${𝐋}_i={𝐫}_i\times {𝐩}_i={𝐫}_i\times m_i{𝐯}_i$ 。

${𝐋}_i$ 對於時間的導數為

$\frac{\mathrm{d}{𝐋}_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}({𝐫}_i\times m_i{𝐯}_i)}{\mathrm{d}t}={𝐯}_i\times m_i{𝐯}_i+{𝐫}_i\times m_i{𝐚}_i={𝐫}_i\times m_i{𝐚}_i$ 。

根據牛頓第二定律，施加於第 $i$ 個粒子的力 ${𝐅}_i$ 是這粒子的質量與加速度的乘積。所以，${𝐋}_i$ 對於時間的導數為

$\frac{\mathrm{d}{𝐋}_i}{\mathrm{d}t}={𝐫}_i\times {𝐅}_i$ 。

第 $i$ 個粒子所感受到的淨力矩 ${\mathit{\tau }}_i$ 為 ${\mathit{\tau }}_i={𝐫}_i\times {𝐅}_i$ 。所以，${\mathit{\tau }}_i$ 與 ${𝐋}_i$ 的關係為

${\mathit{\tau }}_i=\frac{\mathrm{d}{𝐋}_i}{\mathrm{d}t}$ 。

總和所有粒子所感受到的淨力矩，系統所感受到的淨力矩 ${\mathit{\tau }}_O$ 與其角動量 ${𝐋}_O$ 的關係為

${\mathit{\tau }}_O=\sum _{i=1}^n{\mathit{\tau }}_i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum _{i=1}^n{𝐋}_i=\frac{\mathrm{d}{𝐋}_O}{\mathrm{d}t}$ 。

第 $i$ 個粒子所感受到的淨力 ${𝐅}_i$ 為

${𝐅}_i={𝐅}_i^{(ext)}+\sum _{j=1,j\ne i}^n{𝐅}_{ji}$ 。

第 $i$ 個粒子所感受到的淨力矩 ${\mathit{\tau }}_i$ 為

${\mathit{\tau }}_i={𝐫}_i\times {𝐅}_i={𝐫}_i\times {𝐅}_i^{(ext)}+\sum _{j=1,j\ne i}^n{𝐫}_i\times {𝐅}_{ji}$ 。

物體感受到的淨力矩 ${\mathit{\tau }}_O$ 為：

${\mathit{\tau }}_O=\sum _{i=1}^n{\mathit{\tau }}_i=\sum _{i=1}^n{𝐫}_i\times {𝐅}_i^{(ext)}+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1,j\ne i}^n{𝐫}_i\times {𝐅}_{ji}$ 。

應用牛頓第三定律，

${𝐫}_i\times {𝐅}_{ji}+{𝐫}_j\times {𝐅}_{ji}={𝐫}_i\times {𝐅}_{ji}-{𝐫}_j\times {𝐅}_{ji}=({𝐫}_i-{𝐫}_j)\times {𝐅}_{ji}={𝐫}_{ij}\times {𝐅}_{ji}$ ；

其中，${𝐫}_{ij}={𝐫}_i-{𝐫}_j$ 是從粒子 ${𝐫}_j$ 到粒子 ${𝐫}_i$ 的位移向量。

假設這系統的粒子遵守強版牛頓第三定律，即粒子運動為經典運動，速度超小於光速，則${𝐫}_{ij}$ 與 ${𝐅}_{ji}$ 同向，叉積為零。那麼，物體感受到的淨力矩是所有外力矩的向量和 ${\mathit{\tau }}_O^{(ext)}$ ：

${\mathit{\tau }}_O=\sum _{i=1}^n{𝐫}_i\times {𝐅}_i^{(ext)}={\mathit{\tau }}_O^{(ext)}$ 。

這樣，可以得到歐拉第二定律方程式

${\mathit{\tau }}_O^{(ext)}=\frac{\mathrm{d}{𝐋}_O}{\mathrm{d}t}$ 。

假設施加於系統的淨外力矩為零，則系統的角動量的時間變化率為零，系統的角動量守恆。

相對於質心的歐拉第二運動定律

所有粒子所感受到的淨力矩的向量和為

${\mathit{\tau }}_O=\sum _{i=1}^n{\mathit{\tau }}_i=\sum _{i=1}^n{𝐫}_i\times (m_i{𝐚}_i)=\sum _{i=1}^n({𝐫}_{cm}+𝐫{\text{'}}_i)\times (m_i({𝐚}_{cm}+𝐚{\text{'}}_i))$ ；

其中，$𝐫{\text{'}}_i={𝐫}_i-{𝐫}_{cm}$ 、$𝐚{\text{'}}_i={𝐚}_i-{𝐚}_{cm}$ 分別是第 $i$ 個粒子相對於質心的相對位移與相對加速度。

注意到所有粒子的相對位移與相對加速度，其向量和分別為零，所以，

${\mathit{\tau }}_O={𝐫}_{cm}\times m{𝐚}_{cm}+\sum _{i=1}^n𝐫{\text{'}}_i\times m_i𝐚{\text{'}}_i$ 。

現在，假設將質心設定為參考點，則 ${𝐫}_{cm}=0$ ，方程式變為

${\mathit{\tau }}_{cm}=\sum _{i=1}^n𝐫{\text{'}}_i\times m_i𝐚{\text{'}}_i$ 。

以質心為參考點，角動量 ${𝐋}_{cm}$ 為

${𝐋}_{cm}=\sum _{i=1}^n𝐫{\text{'}}_i\times m_i𝐯{\text{'}}_i$ 。

所以，不論質心參考系是否為慣性參考系（即不論質心是否呈加速度運動），以質心為參考點，淨外力矩等於角動量的時間變化率：

${\mathit{\tau }}_{cm}=\frac{\mathrm{d}{𝐋}_{cm}}{\mathrm{d}t}$ 。

可變形體

在可變形體內部任意位置的內力密度不一定一樣，也就是說，其內部存在有應力分佈。這內部的內力的變化是由牛頓第二定律主控。通常，牛頓第二定律是應用於計算質點或粒子的動力運動，但在連續介質力學裏，被加以延伸後，可以應用於計算具有連續分佈質量的物體的運動行為。假設將物體模型化為由一群離散粒子組構而成，每一個粒子的運動都遵守牛頓第二定律，則可以推導出歐拉運動定律。不論如何，歐拉運動定律也可以直接視為專門描述大塊物體運動的公理，與物體結構無關。

在塑性力学（plasticity theory）裏，施加於一個連續物體B的力可以分類為兩種：「長程力」與「短程力」。長程力作用於整個物體的每一部分，稱為徹體力（Template:Lang），而短程力只能作用於物體表面，稱為接觸力（Template:Lang）。這樣，施加於連續物體的淨力 $𝐅$ 分為淨徹體力 ${𝐅}_b$ 、淨接觸力 ${𝐅}_t$ ：

${𝐅}_b=\underset{𝕍}{\int }𝐛\mathrm{d}m=\underset{𝕍}{\int }\rho 𝐛\mathrm{d}V$ 、

${𝐅}_t=\underset{𝕊}{\int }𝐭\mathrm{d}S$ ；

其中，$𝐛$ 是徹體力場（量綱為力每單位質量），$\mathrm{d}m$ 是微小質量元素，$\rho$ 是質量密度，$\mathrm{d}V$ 是微小體元素，$𝕍$ 是積分體區域，$𝐭$ 是表面曳力（Template:Lang）密度，$\mathrm{d}S$ 是微小面元素，$𝕊$ 是積分曲面。

由於徹體力與接觸力施加於物體，造成了以某設定點為參考點的對應力矩。這樣，對於原點的淨力矩 $𝐋$ 分為淨徹體力矩 ${𝐋}_b$ 、淨接觸力矩 ${𝐋}_t$ ：

${𝐋}_b=\underset{𝕍}{\int }𝐫\times \rho 𝐛\mathrm{d}V$ 、

${𝐋}_t=\underset{𝕊}{\int }𝐫\times 𝐭\mathrm{d}S$ ；

其中，$𝐫$ 是微小體元素或微小面元素的位置。

歐拉第一定律（「力平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨外力等於淨動量的時間變化率：

$𝐅=\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}$ 。

也就是說，

$\underset{𝕍}{\int }\rho 𝐛\mathrm{d}V+\underset{𝕊}{\int }𝐭\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{𝕍}{\int }\rho 𝐯\mathrm{d}V$ ；

其中，$𝐯$ 是微小體元素的速度。

歐拉第二定律（「角動量平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨力矩等於淨角動量的時間變化率：

$\mathit{\tau }=\frac{\mathrm{d}𝐋}{\mathrm{d}t}$ 。

也就是說，

$\underset{𝕍}{\int }𝐫\times \rho 𝐛\mathrm{d}V+\underset{𝕊}{\int }𝐫\times 𝐭\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{𝕍}{\int }𝐫\times \rho 𝐯\mathrm{d}V$ 。

參閱

• 歐拉方程 (剛體運動)
• 歐拉旋轉定理