值域

Template:NoteTA Template:Not Template:无来源 在数学中，函数的值域（Template:Lang-en）是由定义域中一切元素所能產生的所有函數值的集合。有时候也称为函数的像。

给定函数$f:A\to B$，集合$f(A)$被称为是$f$的值域，记为$R_f$。值域不应跟陪域$B$相混淆。一般来说，值域只是陪域的一个子集。

例子

假设函数$f$为定义在实数上的函数：

$f:ℝ\to ℝ$

定义为

$f:x\mapsto x^2$

$f$的陪域为$ℝ$，但明顯地$f(x)$不會取到负数值，因此，事实上值域只是非负实数集合${ℝ}^{+}\cup \{0\}$，即区间$[0,\mathrm{\infty })$：

$0\le f(x)<\mathrm{\infty }$。

求法

基本方法

初等函数的值域求法一般为：

1. 观察法
2. 不等式法
3. 反函数法
4. 复合函数法
5. 配方法
6. 判别式法
7. 图像求值

观察法

例如：$y=3-\sqrt{x}$

由$\sqrt{x}\ge 0$

$\Rightarrow -\sqrt{x}\le 0$

所以值域为$(-\mathrm{\infty },3]$。

反函数法

先求得所要计算的函数的反函数，则反函数的定义域即为原函数的值域。

例如：$y=\sqrt[3]{x}$

它的反函数为$x=y^3$

反函数的定义域为：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

则原函数$y=\sqrt[3]{x}$的值域为：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

图像求值

画出連續函数的图像，则函数图像纵轴的最小值和最大值（若有）组成的区间即为函数的值域。

相关条目

• 陪域
• 定义域
• 单射
• 满射
• 双射