結式

結式是數學中一個常用的不變量。考慮域 $F$ 上兩個多項式 $P,Q$，設其首項係數分別為 $a,b$，則其結式定義為

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q):=a^{\mathrm{deg}Q}{b}^{\mathrm{deg}P}\prod _{(x,y)\in {\overline{F}}^2:P(x)=0,Q(y)=0}(x-y),$

其中 $\overline{F}$ 為 $F$ 的給定代數閉包。由此定義的結式是 $F$ 的元素，而与代數閉包的選取无关。

計算方式

• 結式亦可理解為西爾維斯特矩陣的行列式。
• 為簡單起見，假設 $P,Q$ 首項係數為一；若 $Q$ 是可分多項式（換言之：無重根），則定義可改寫為

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x)$

此式僅依賴於 $Q$ 除以 $P$ 的餘式。

• 承上，可透過輾轉相除法求得結式。

性質

• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=(-1{)}^{\mathrm{deg}P\cdot \mathrm{deg}Q}\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(Q,P)$
• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P\cdot R,Q)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(R,Q)$
• 若 $P_1=P+R*Q$且$\mathrm{deg}{P}_1=\mathrm{deg}P$，那么$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P_1,Q)$。在論及計算方式時已利用此性質。
• 若 $X,Y,P,Q$ 同次，$X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$，則有

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(X,Y)=\det {\left(\begin{array}{cc}{a}_{00}& a_{01}\\ a_{10}& a_{11}\end{array}\right)}^{\mathrm{deg}P}\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)$

• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P_{-},Q)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(Q_{-},P)$，其中 $P_{-}(z):=P(-z)$。

應用

• 一多項式 $P$ 與其導數 $P^{\prime }$的結式可由判別式 $D(P)$ 表示：設 $P$ 的首項係數為 $a$，則

$D(P)=(-1{)}^{\frac{\mathrm{deg}P(\mathrm{deg}P-1)}{2}}{a}^{-1}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,P^{\prime })$。

• 在代數幾何中，可用結式計算兩條平面代數曲線之交。
• 在域論中，結式可用來計算範數。

外部連結

• Weisstein, Eric W. "Resultant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Template:Wayback