克莱因-戈尔登方程

Template:NoteTA Template:Sidebar with collapsible lists Template:量子力学 克莱因-戈尔登方程式（Template:Lang-en）是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程式，它是薛定谔方程式的狭义相对论形式，用于描述自旋为零的粒子。克莱因-戈尔登方程式是由瑞典理论物理学家奥斯卡·克莱因和德国人Template:Le于二十世纪二三十年代分别独立推导得出的。

陳述

克莱因-戈尔登方程為

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\psi -{\mathrm{\nabla }}^2\psi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi =0$。

很多時候會用自然單位（c=ħ=1）寫成

$-\underset{t}{\overset{2}{\partial }}\psi +{\mathrm{\nabla }}^2\psi =m^2\psi$

由於平面波為此方程已知的一組解，所以方程形式由它決定：

$\psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{i{k}_{\mu }{x}^{\mu }}$

遵從狹義相對論的能量動量關係式

$-p_{\mu }{p}^{\mu }=E^2-P^2={\omega }^2-k^2=-k_{\mu }{k}^{\mu }=m^2$

跟薛定諤方式不同，每一個k在此都對應着兩個$\omega$，只有通過把頻率的正負部份分開，才能讓方程描述到整個相對論形式的波函數。若方程在時間流逝下不變，則其形式為

$[{\mathrm{\nabla }}^2-\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}]\psi (𝐫)=0$。

相对论量子力学下的形式推导

自由粒子的薛定谔方程式是非相对论量子力学的最基本方程式：

$\frac{{𝐩}^2}{2m}\psi =i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi$

其中$𝐩=-i\hslash \mathrm{\nabla }$是动量算符。

薛定谔方程式并非相对论协变的，意味着它不满足爱因斯坦的狭义相对论。

利用狭义相对论中的相对论能量公式 $E=\sqrt{{𝐩}^2{c}^2+m^2{c}^4}$ 替换薛定谔方程左边的动能$\frac{{𝐩}^2}{2m}$项，最终可得它的协变形式：

$({◻}^2+{\mu }^2)\psi =0.$

其中$\mu =\frac{mc}{\hslash }$，达朗贝尔算符${◻}^2=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2$.

从相对论量子力学的观点来看，达朗贝尔算符的出现意味着克莱因-戈尔登方程式是一个量子力学的波方程。

量子场论下的形式推导

场论中，对于自旋为零的场（标量场），拉格朗日量被写成

$L=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2$

这里依照量子场论的习惯选取了自然单位，将光速$c$和普朗克常数$\hslash$都取作1。

代入欧拉-拉格朗日方程$\frac{\partial L}{\partial \varphi }-\frac{\partial }{\partial x_{\mu }}\frac{\partial L}{\partial ({\partial }^{\mu }\varphi )}=0,$可直接得到克莱因-戈尔登方程。

从量子场论的观点来看，以上推导过程都在经典场论的范围之内，因此克莱因-戈尔登方程式只是一个经典场的场方程式。

自由粒子解

相对论量子力学中自由粒子只是一个理想化的概念，但形如克莱因-戈尔登方程式这样的波方程仍然具有形式上的平面波解：

$\psi (𝐫,t)=e^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}$

其中$-k^2+\frac{{\omega }^2}{c^2}=\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}.$

从克莱因-戈尔登方程式得出的能量本征值为

$E=\pm \sqrt{{𝐩}^2{c}^2+m^2{c}^4}$

因而克莱因-戈尔登方程式的解包含了负能量。同时，由这个解导出相应的概率密度也不能保证是正值。这两个问题使得克莱因-戈尔登方程在很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的。英国物理学家保罗·狄拉克为了确保概率密度具有物理意义建立了狄拉克方程，但这个方程仍然没有避免出现负能量。

行波解

克莱因-戈尔登方程有行波解 Template:Gallery

参见

• 狄拉克方程式
• 量子场论

參考文獻

• Sakurai, J. J. (1967). Advanced Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-06710-2.
• Greiner, W. (1990). Relativistic Quantum Mechanics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-67457-8.