黎曼曲率張量

在微分几何中，黎曼曲率张量（Template:Lang-en）或黎曼張量是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率，包括无扭率或有撓率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的，一个仿射联络)$\mathrm{\nabla }$(或者叫协变导数)由下式给出:

$R(u,v)w={\mathrm{\nabla }}_u{\mathrm{\nabla }}_{v}w-{\mathrm{\nabla }}_v{\mathrm{\nabla }}_{u}w-{\mathrm{\nabla }}_{[u,v]}w.$

这里$R(u,v)$是一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数都是线性的。

注意有些作者用相反的符号定义曲率.

如果$u=\frac{\partial }{\partial x_i}$ 与 $v=\frac{\partial }{\partial x_i}$ 是坐标向量场则$[u,v]=0$所以公式简化为

$R(u,v)w={\mathrm{\nabla }}_u{\mathrm{\nabla }}_{v}w-{\mathrm{\nabla }}_v{\mathrm{\nabla }}_{u}w$

也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。

线性变换$w\mapsto R(u,v)w$也称曲率变换。

對稱性和恆等式

进一步,由上式定义了如下的三重线性映射

• $R:(w,u,v)\to R(u,v)w,$

映射$R$关于每一个自变量都是$C^{\mathrm{\infty }}$线性的, 故$R$是$M$上的$(1,3)$型光滑张量场, 称之为仿射联络空间$(M,\mathrm{\nabla })$的曲率张量. 在坐标向量场下，$R$ 可以表示为

• $R=R_{kij}^{l}d{x}^k\otimes \frac{\partial }{\partial x^l}\otimes d{x}^i\otimes d{x}^j.$

还可以定义四重线性映射，如下

• $R:(w,z,u,v)\to g(R(u,v)w,z),$

则映射 $R$关于每一个自变量都是$C^{\mathrm{\infty }}$ 线性的, 故$R$是黎曼流形$(M,g)$上的 $(0,4)$ 型光滑张量场, 称之为黎曼流形 $(M,g)$ 的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下, $R$ 可以表示为

• $R=R_{klij}d{x}^k\otimes d{x}^l\otimes d{x}^i\otimes d{x}^j.$

• 注：上述纺射联络空间 $(M,\mathrm{\nabla })$上的曲率张量 $R$与黎曼流形 $(M,g)$ 上的黎曼曲率张量 $R$ 是同一个对象的不同表现形式.
• 注 $R_{klij}=g_{lm}{R}_{kij}^m$.

黎曼曲率张量有如下的对称性:

• $R(u,v)=-R(v,u{)}_{}^{}$
• $⟨R(u,v)w,z⟩=-⟨R(u,v)z,w{⟩}_{}^{}$
• $R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}$

最后一个恒等式由里奇发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。

这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有$\frac{n^2(n^2-1)}{12}$个独立分量。

另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:

$⟨R(u,v)w,z⟩=⟨R(w,z)u,v{⟩}_{}^{}$

比安基恒等式(Bianchi identity)，经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:

${\mathrm{\nabla }}_{u}R(v,w)+{\mathrm{\nabla }}_{v}R(w,u)+{\mathrm{\nabla }}_{w}R(u,v)=0$

给定流形某点的任一坐标表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:

• $R_{abcd}=-R_{bacd}$
• $R_{abcd}=R_{cdab}$

• 第一（代數）比安基恒等式：$R_{abcd}+R_{adbc}+R_{acdb}=0$或等價地寫為$R_{a[bcd]}=0$

• 第二（微分）比安基恒等式：${\mathrm{\nabla }}_e{R}_{abcd}+{\mathrm{\nabla }}_d{R}_{abec}+{\mathrm{\nabla }}_c{R}_{abde}=0$或等價地寫為$R_{ab[cd;e]}=0$

其中方括号表示对下标的反對稱化，分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用，特别是广义相对论。

相關條目

• 黎曼流形的曲率
• 截面曲率
• 曲率形式

外部連結

• Template:EnWolfram MathWorld —— Riemann TensorTemplate:Wayback、Bianchi identityTemplate:Wayback、Contracted Bianchi identityTemplate:Wayback
• The Riemann Curvature Through History (pdf) Template:Wayback