高级Z变换

Template:No footnotes Template:Cleanup-jargon 高級Z轉換（英語：Advanced z-transform，或 modified z-transform）是Z轉換的延伸，是數學及信號處理領域中的工具，它將不是取樣週期整數倍的延遲考慮進去。具有以下形式

$F(z,m)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(kT+m)z^{-k}$

其中

• T為取樣週期

• m為延遲參數（delay parameter），$0\le m<T$

性質

如果延遲參數m固定，則Z轉換具有的性質在高級Z轉換也都成立。

線性

$𝒵\{\sum _{k=1}^n{c}_k{f}_k(t)\}=\sum _{k=1}^n{c}_k{F}_k(z,m)$

時移

$𝒵\{u(t-nT)f(t-nT)\}=z^{-n}F(z,m)$

Z域的尺度性質

$𝒵\{f(t)e^{-at}\}=e^{-am}F(e^{aT}z,m)$

微分

$𝒵\{t^{y}f(t)\}={(-Tz\frac{d}{dz}+m)}^{y}F(z,m)$

終值定理

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(kT+m)=\underset{z\to 1}{\lim }(1-z^{-1})F(z,m)$

範例

以下計算 $f(t)=\cos (\omega t)$的高級Z轉換：

$\begin{array}{cc}F(z,m)& =𝒵\{\cos \left(\omega (kT+m)\right)\}\\ & =𝒵\{\cos (\omega kT)\cos (\omega m)-\sin (\omega kT)\sin (\omega m)\}\\ & =\cos (\omega m)𝒵\{\cos (\omega kT)\}-\sin (\omega m)𝒵\{\sin (\omega kT)\}\\ & =\cos (\omega m)\frac{z(z-\cos (\omega T))}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}-\sin (\omega m)\frac{z\sin (\omega T)}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}\\ & =\frac{z^2\cos (\omega m)-z\cos (\omega (T-m))}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}\end{array}$

若 $m=0$，則$F(z,m)$簡化為

$F(z,0)=\frac{z^2-z\cos (\omega T)}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}$

正是$f(t)=\cos (\omega t)$的Z轉換

參考文獻

• Eliahu Ibrahim Jury, Theory and Application of the z-Transform Method, Krieger Pub Co, 1973. Template:ISBN.